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视频标签：函数的单调性与最大
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视频课题：高中数学函数的单调性与最大（小）值_济宁
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高中数学函数的单调性与最大（小）值_济宁
函数的单调性与最大（小）值教学设计
一、教学目标
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知识与技能目标:使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法理解函数单调性的概念,掌握判别函数单调性的方法。
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过程与方法目标:通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力。
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情感态度与价值观目标:通过探究活动,激发学生的好奇心和求知欲, 培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程培养学生的自信心, 提高学生学习数学的兴趣。
学生在初中时期已经掌握了一次函数、二次函数的图象和基本性质以及集合等内容,但对知识的理解和方法的掌握一些细节上不完备,反应在解题中就是思维不缜密,过程不完整;能力层面上学生具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力,但知识整合和主动迁移的能力较弱,数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强;情感层面上多数学生有积极的学习态度,能主动参与研究,少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动。
(1)函数单调性概念的生成中,如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述
(2)根据定义证明函数的单调性四、教学过程
【活动 1】 (多媒体投影)新冠疫情爆发初期新增病例变化曲线。引导学生观察图形,启发学生思考: (1)随着时间 t 逐渐增大时你能看出对应的函数值 y 有什么变化趋势?
(2)还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案:气温、学习成绩、燃油价格等(多媒体展示)。归纳:用函数观点来看,“以上数据变化其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小。〖设计意图〗由具体情境引入新课,激发学生学习的兴趣。
【活动 2】归纳探索，形成概念
探究 1：借助图象,直观感知问题 1:展示函数 y=x, y=-2x+1,y=x2 的图象, 并指出函数从左到右的变化趋势。
学生活动:学生合作描述函数图像从左到右的变化趋势,同时指明对应的区间。设计意图：通过从直观角度描述函数的变化趋势的研究,使学生更加明确研究的方向,同时培养学生合作探究能力和语言表达能力,调动学生的气氛。问题:你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗? 预案:在某一区间内,图象在该区间呈上升趋势⇔当 x 的值增大时, 函数值 y 也增大；在某一区间内,图象在该区间呈下降趋势⇔当 x 的值增大时,函数值 y 也减小〖设计意图〗从图象直观到分析随着自变量的增大, 函数值的变化情况,为引入函数单调性的概念做铺垫。
思考:从上面的观察分析,能得出什么结论?教师指出:从上面的观察分析可以看出,不同的函数图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同。函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映,这就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性。
教师:函数在某一区间上呈上升趋势,我们就说该函数在该区间上是单调增函数,函数在某一区间上呈下降趋势,我们就说该函数在该区间上是单调减函数。〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识。
【活动 3】探究发现，建构概念 1:结合图象，尝试用精确的数学语言去定义函数的单调性。〖师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义。
(1)板书定义。
(2)强调概念:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。② x1,x2 取值的任意性。〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析, 加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识。
【活动 4】例题讲解
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范例解析(多媒体投影例题 1)例 1.下图是定义在[-5,5]上的函数 y=f(x) 的图像,根据图像说出 y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数。 预案:引导学生利用函数图像找函数的单调增区间, 师生共同点评。
（变式训练 1）（多媒体展示）3 个小题（分别指出下列三个函数的单调区间），加深学生利用图像法判定函数的单调性。。
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例 2.证明函数 f(x)=kx+2 的单调性。
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师生互动,教师板演,归纳证明单调性的步骤:取值、作差、变形、定号、下结论。
（变式训练 2）课本例题 2 学生练习,一人板演,教师巡视,个别指导,师生共同点评。
设计意图：学生通过讨论交流,规范解题步骤，掌握解题规律，进一步理解函数单调性的概念。
【活动 5】函数的最值(最大值和最小值)概念的介绍。通过实例演示，身高对比。
【活动 6】归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受, 师生合作共同完成小结。1.小结(1) 知识方面:利用图像判断单调性，函数单调性的概念,定义法证明函数单调性。(2) 数学思想方法总结:数形结合、直观想象等。
【活动 7】课后巩固、深化知识
书面作业:课本第 96 页习题 3.2 第 3 题。
课后探究: 利用单调性定义严谨证明初中所学函数的单调性。
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