（省赛）北师大版必修第一册第三章第3节《指数函数图象和性质（一）》3.3.1指数函数第一课时夏凯月

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视频标签：指数函数图象和性质

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部编版高中新课程新教材优质课比赛（省赛）北师大版必修第一册第三章第3节《指数函数图象和性质（一）》3.3.1指数函数第一课时
第3课时 指数函数的概念及性质

一、课时内容与内容解析
本节课选自普通高中课程标准实验教科书北师大版必修第一册第三章第三节第一课时指数函数的概念和性质。主要内容是指数函数的概念，以及底数时的图象和性质，是一节探究课。
函数是刻画客观世界变量关系强有力的工具与模型，它贯穿整个高中课程，而指数函数作为基本初等函数之一，不仅提供了研究一类函数的思想方法，并且在实际生活中对于指数增长衰减模型的刻画也有重要的作用。
本节课是在函数的概念性质及指数幂的扩充和运算之后学习的，学生已有初步的数形结合以及抽象的能力。在此基础之上，利用指数幂的扩充及运算抽象出指数函数概念，然后探究了底数时的图象与性质，从而体会一类函数的探究方法。本节课学完之后，也为下节时的图象性质和后续函数的学习奠定基础。因此本节课内容具有承前启后的作用，至关重要。
二、学情分析
（一）已有的知识储备
通过第二章的学习，学生已经掌握了函数的概念及性质，可以熟练地作出函数图象，并且积累了用函数图象和代数运算研究函数性质的经验。通过前两个课时的学习，学生已经对指数幂有了一定的了解，这些都为本节课提供了一定的知识基础。
（二）存在的问题
但是针对高一学生，他们的思维习惯，数形结合能力以及观察抽象归纳等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难。一是虽然前面经历了指数幂的学习，但直接从数学内部建立起与函数的联系，从而抽象出指数函数概念对学生来说是个难点。二是即使前面幂函数能提供给大家研究的框架，但与指数函数不同的是，幂函数只研究了五个具体的函数，学生并没有经历从特殊到一般的抽象过程，因此作为一节具体函数探究课，学生并没有太多的经验。加上班级学生会有少许的分化，部分基础不好的同学逻辑推理数学抽象等素养还较为欠缺，在性质的探究和归纳过程会产生一些困难。除此之外，在心理上，由于函数本身就具有较强的抽象性，加上高中与初中数学的差异性，所以处于高中起始阶段的学生，容易对高中数学产生挫败感，自我效能感降低，产生习得性无助等。
（三）解决办法
为此，在教学中要建立在学生已有知识经验的基础之上，教师引导，从具体函数和几何直观入手为学生搭建脚手架。让学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程，同时利用信息技术，突破难点。在教学过程中善于引导，激发学生学习兴趣，帮助学生树立自信心。
所以在本节课的教学设计中，概念部分注重引导学生从已有的知识出发，将新旧知识之间建立联系，抽象出指数函数概念。性质部分注重从具体的指数函数出发，结合图象的观察分析，动手操作，自主探究，通过信息技术GeoGebra辅助，获得一般性结论，在这个过程中增强学生的自我效能感。

目标与目标解析

1.目标
（1）通过指数幂的回顾，学生能建立起与函数之间的联系，从而抽象出指数函数的概念，发展数学抽象的核心素养。
（2）通过对

和

图象的对比，学生能找出其共同点和不同点，并能用数学语言准确刻画。积累从几何直观和代数直观研究函数性质的经验，体会数形结合的思想，发展直观想象、数学抽象的核心素养。
（3）通过GeoGebra演示，从具体到抽象，学生能总结出

时指数函数的图象和性质。经历从特殊到一般的推理过程，发展逻辑推理的核心素养。
（4）学生能应用指数函数的相关性质解决比较大小、方程及不等式等有关问题，学会用函数眼光看待数学问题，体会函数思想，发展数学运算和数学抽象的核心素养。
2.目标解析
达成上述目标的标志是：

学生能通过前两节指数幂的学习经验，解决问题1和问题2，并能从中发现函数关系，得出概念后，能自主完成例1，掌握指数函数的形式特点。
学生能利用描点法准确作出和图象，通过对比共同特征能得出函数相应的定义域、值域、单调性、定点等性质。能通过观察不同点，发现底数对指数函数图象的影响。
学生能通过观察信息技术演示，将由具体函数总结的图像特征和函数性质推广到一般，并能用符号语言准确刻画。
学生能利用指数函数的性质，自主完成例2、例3以及相关变式和巩固练习，并能说出自己的思路以及理论依据。

四、教学重点与难点
教学重点：指数函数概念的理解，a>1时的图象与性质的掌握
教学难点：a>1时指数函数性质的概括及应用
五、方法与策略
教学方法上，本节课采用探究式的教学方法，采用“提出问题一概念得出---动手操作--技术演示--总结归纳”层层递进的方式来突破本节课的重难点。学法上，由一系列问题为主线，层层递进，由浅入深，让学生体会函数性质探究的一般思想方法。在教学手段上，采用多媒体课件以及Geogebra，它既便于学生直观感知，提高课堂教学效率，又能辅助验证结论，激发学生学习兴趣。
六、资源与工具
本节课的目标之一是学生能总结并掌握底数

时指数函数的性质，所以需要借助Geogebra软件动态演示，帮助学生直观感知，从而将由特殊函数得出的结论推广到一般。另外，为了检测教学目标是否达成，在例题部分需要用到投影展示学生的成果。
七、教学内容与过程
（一）创设问题导入课题
问题1：通过前面的学习，你对指数幂

中的底数

和指数

有哪些认识？
追问1：如果把

记为

，

的值有什么特点？
问题2：对于

，当底数

一定时，任给一个实数

，是否都有唯一确定的实数

与之对应？
预设学生回答

是

的函数，引导一般用

表示自变量

表示函数，从而引出课题（板书）
【设计意图】通过复习旧知引导学生自主思考，从学生熟悉的指数幂

出发，让学生将现有知识与函数之间建立起联系，从而自然地抽象出指数函数的概念，并且为指数函数的定义域和函数值特点提供知识基础。
（二）启发引导形成概念
指数函数的概念：

问题3：通过上述问题，你能得出指数函数的哪些简单性质？
定义域：R 函数值大于零
追问：由前面的学习我们知道

=1(

≠0)，由此，在指数函数中我们还可以得到什么性质？
图象过定点（0.1）
【设计意图】初步建立从代数角度研究函数性质的经验
例1 判断下列函数是否为指数函数？

【设计意图】通过变式强调指数函数的形式特点
（三）逐步深入提出问题
师生活动：回顾第二章函数的学习过程，类比思考研究完指数函数的定义之后，下一步该研究什么？让学生进一步明确接下来的探究任务，即指数函数的性质。教师引导学生发现底数

的范围被分成了

和

两部分，本节课先来探究

时的性质。
思考：（1）我们一般研究函数的哪些性质？
           定义域，值域，单调性，奇偶性…
（2）通过什么方式去发现这些性质？
   预设：根据图象特征数形结合
（3）底数

的值未知，

（

）的图象无从画起，如何解决？
预设：赋予

具体的数值，从具体的函数出发
追问：大家觉得在

的条件下给

赋予什么值，更简单且有利于作出图象？
【设计意图】通过以上三个问题，逐步推进设问，让学生自主建构探究函数性质的一般方法及思想。
（四）讨论探究发现性质
动手操作：在同一平面直角坐标系中作出

和

的图象
师生活动：找学生上黑板作图，其余学生在学案上作图，教师巡视，并引导列表时要依据定义域选取有代表性的数值，可利用上面发现的两条性质辅助作图。
问题4：观察它们的图象特征有什么共同点，从中你能发现哪些共同性质？
师生活动：学生自主总结观察出来的图象共同特征后，教师引导学生将观察出的图象特征用符号语言表示出来，数形结合。
追问：以上性质是由两个特殊的函数总结出来的，是否只要底数

大于1时，指数函数都具有这样的性质呢？

借助GeoGebra操作验证，师生共同归纳总结：
【设计意图】先通过动手操作将得出的图象对比分析，学生初步感知

和

的图象和性质，然后从特殊到一般，借由信息技术辅助，将性质推广到一般，即

（

）的图象性质。
问题5：观察它们的图象特征有什么不同点，你又能得到什么结论？
预设：

，

的图象在

的上方，

，

的图象在

的下方。
引导学生用数学语言表示：

追问：类似的，以上结论能否推广到一般？
GeoGebra操作演示，得出结论：对于

和

【设计意图】通过动手操作所得图象的对比分析，找出不同点，体会底数对指数函数图象的影响，从特殊到一般，提出猜想，最后借由信息技术geogebra辅助，将性质推广到一般，突破本节难点。
（五）新知应用巩固深化
例2 比较下列各题中两个数的大小：

【设计意图】通过例1考察指数函数单调性的应用，并且渗透构建函数的方法及函数思想。变式意图是考察底数大小对函数的影响这一性质的应用
例3 （1）求使不等式

成立的实数

的集合
（2）已知方程

，求实数

的值；
【设计意图】让学生体会函数在解不等式以及解方程中的应用

（六）巩固练习检验效果

（2）

（1）

1.比较下列各题中两个数的大小：

2.求下列不等式成立的实数

的集合：

（1）

（2）

（七）小结提高回顾新知
（1）这节课我们学习了指数函数的哪些内容？
（2）我们是按照什么样的路径去研究指数函数的？在这个过程中，用了哪些数学思想和方法？
（八）分层作业
1.巩固作业
必做题：教材84页练习题1，3
选做题：尝试给出单调性以及

大小关系的证明
2.探究作业
作出指数函数

的图象，类比

的情况，小组交流，讨论

时指数函数的图象和性质，完成探究活动报告（附后）。
【设计意图】进一步巩固本节课的所学内容，根据学生层次的不同设置必做题和选做题，让不同的学生在数学上得到不同的发展。其中的选做题是为了从代数角度进一步证明相关性质，体现数学的严谨性。探究作业一方面是对本节课思想方法的迁移应用，另一方面是为了下一节课的性质研究做准备。

板书设计

指数函数

概念

性质

定义域
值域
定点
单调性

和

探究活动：

时指数函数

的图象和性质

小组成员
小组分工	组长：
	其他组员分工:
探究过程		探究结论


思考总结：（1）你是按照什么步骤进行探究的？
（2）探究过程中遇到的问题和解决方式：
检测习题：比较下列各组数的大小：（1），；（2），（3） ,.

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