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视频标签：指数函数的图象与性质
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：（省赛）北师大版必修第一册第三章第3节《指数函数图象和性质（三）》第5课时指数函数的图象与性质的简单应用马
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部编版高中新课程新教材优质课比赛（省赛）北师大版必修第一册第三章第3节《指数函数图象和性质（三）》第5课时指数函数的图象与性质的简单应用
第五课时 指数型函数的图象和性质的简单实际应用
一、课时内容与内容解析
本节课选自普通高中课程标准实验教科书北师大版必修第一册第三章第3节第2课时的衍生课：指数函数的图象和性质的简单实际应用.本节课主要是通过以章引言中的“世界人口问题”为背景，展示建立数学模型解决实际问题的基本过程，体验指数型函数模型的实际应用价值，是一节建模课.
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.为了准确地刻画客观世界的运动变化，描述现实问题的变化规律，常常需要选择恰当的函数类型来构建数学模型，但要选择恰当的函数类型就要清楚不同类型函数所刻画的变化规律的特点.指数函数作为一种特殊的函数，刻画了呈现“指数增长衰减”的运动变化现象，这种运动变化现象在现实世界中非常常见.因此本节内容试图通过表格、图象让学生直观地感受“人口问题”的变化规律，通过建立不同的函数模型对比分析强化对指数函数图象和性质的认识和理解，引导学生从数学的视角发现问题、提出问题，构建指数型函数模型，确定模型中的参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决问题，让学生体会数学的来源和应用，丰富学生对数学的认识.
本节内容的学习，既是对前面知识的综合应用，也对建立数学模型解决实际问题的过程的体验。在此过程中激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养.
二、课时学情分析
（一）已有的知识储备
学生在本节内容之前已经掌握了指数函数的概念、图象以及性质，可以熟练地作出指数函数图象，并且已经积累了用函数图象和代数运算研究函数性质的经验，并能够应用它们解决学科内的一些问题和一些最基础的实际问题.通过前面的学习，学生对数学建模及已经不再陌生，这些都为本节内容的学习提供了一定的知识基础.
（二）存在问题
高一学生的思维习惯，数形结合能力以及观察、抽象和归纳等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.
一方面，面对较为复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择合适的函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象能力和对指数型函数模型的深刻认识.即使学生非常清晰指数函数的图象，但在结合现实情境中的具体问题时困难重重.从利用信息技术将表格中的数据转化为图象，到由图象直观地发现整体的变化情况，再到利用计算工具对已有数据进行数据处理，最后揭示出图象蕴含的变化规律进一步选择合适的数学模型，这一过程对学生来说非常困难.
另一方面，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯.
除此之外，在心理上，由于函数本身就具有较强的抽象性，加上高中与初中数学的差异性，所以处于高中起始阶段的学生，容易对高中数学产生挫败感，自我效能感降低，产生习得性无助等.
（三）解决办法
首先，教学时可以多从以下两方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律，从而选择合适的函数模型.在教学中要想选择合适的模型解决“世界人口”这一实际问题，就要在学生已有知识经验的基础之上，先分析和理解实际问题的增长情况，其中重点考虑是“二次函数型增长”还是“指数型增长”，然后再根据增长情况选择函数类型构建数学模型.其次，教学中应引导学生归纳问题特点以及解决问题的过程和方法，注意实际问题的具体背景，将指数型函数模型灵活应用，同时还应注意总结建立数学模型解决实际问题的基本过程.最后，在教学中多鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，画图分析，多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步形成利用信息技术研究实际问题的意识.
三、目标与目标解析
1.目标
（1）通过对实际问题的分析和解决过程，加深对指数型函数模型的理解，同时掌握利用信息技术进行复杂运算求解的方法，进一步熟练指数运算性质，发展数学运算能力；
（2）在建立数学模型解决实际问题的过程中，提升数学建模素养；根据不同的实际情况，建立不同的数学模型，在此过程中形成数学思维的条理性，发展分析问题解决问题的能力，提升数学抽象素养；
（3）通过对“人口问题”的自主探索，合作交流，锻炼协作能力，同时归纳指数型函数模型的增长特点，推广模型，感受数学的应用价值，体会从特殊到一般的数学思想.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：（高中数学六大核心素养名称：A. 数学抽象；B. 逻辑推理；C. 数学建模；D. 直观想象；E. 数学运算；F. 数据分析.）
（1）学生分析问题时，能明确“世界人口问题”中的数量关系，能从直观的角度考虑到将表格数据转化成图形信息进一步分析，并能针对图象的变化趋势提出不同的函数模型方案，将实际问题抽象为数学问题并为建立函数模型；（AFD）
（2）能从实际问题的分析和解决过程中，深化理解指数函数型模型的变化特征，进一步确定选择建立指数型函数模型解决该实际问题，在信息技术的辅助下完成复杂指数运算的求解，在此过程中能自主探索，合作交流，激发浓厚的学习兴趣，感受数学的应用价值；（BCE）
（3）在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中，围绕“是什么数学问题”“选什么函数模型”“为什么要选这个函数模型”“怎么解答实际问题”，在此过程中让学生逐步养成数学思维的条理性，进一步提高分析问题解决问题的能力，提升学生的数学抽象和数学建模素养.（AC）
四、教学重点与难点：
重点：通过解决“人口问题”，感受指数函数所描述的变化规律，了解指数型函数模型在实际生活中的应用.
难点：使用恰当的方式处理原始数据简化实际问题；理解用“增长率”为常数刻画指数函数的变化规律，识别实际问题中的指数型函数模型的应用.
五、方法与策略
教学方法上，本节课采用小组合作探究式的教学方法，由实际问题入手，通过“提出问题—收集数据—建立模型—求解模型—推广模型”层层环节展开启发学生的思维，突破本节课的重难点。学法上，从具体问题出发，特殊到一般，由浅入深，让学生感受指数型函数模型的应用价值。在教学手段上，采用多媒体课件以及Excel软件，它既便于学生直观感知，提高课堂教学效率，又能辅助验证结论，激发学生学习兴趣。
六、资源与工具
为了帮助学生克服选择函数模型并利用所得模型解决问题的困难，教学过程中应充分利用信息技术的列表、作图、计算等功能，处理实际数据便捷地求解，让学生将主要精力投入到定性和定量的分析问题上.
使用的资源和工具如下：国内各版本普通高中课程标准教科书及教学参考书，数学实验室，智慧黑板等多媒体设备、Excel软件等信息技术软件.
七、教学内容与过程
（一）提出问题 分析问题
章引言：1987年7月11日，地球人口达到50亿.1990年联合国将每年7月11日定为“世界人口日”，以唤起人们对人口问题的关注.1999年和2011年世界人口分别到达60亿和70亿.最新预测认为，世界人口在2050年将达到98亿，到21世纪末可能超过110亿.
提出问题：（1）你知道最新预测值是如何得到的吗？
（2）你能预测2100年时的世界人口数吗？
（教师进一步结合“世界各国人口变化统计”的视频，帮助学生理解材料，引导学生分析两者之间的联系，找到世界人口总数随时间变化的规律进一步解决问题.）
设计意图：通过回归教材章引言提出的问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自主思考，将实际问题和已有的知识建立起联系.教学时采用问题的形式，结合视频生动展现数据的变化，意在有针对性地关注到不同层次的学生，做到总体引导，分层指导.结合学生的实际情况，逐步深入引导学生思考问题的本质，将实际问题转化为数学问题，引导学生考虑建立适当的函数模型，为后续的研究做好铺垫.
显然，如果能建立世界人口总数随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题.为此，我们需要收集更多的真实数据，利用这些数据建立适当的函数模型.
上述实际问题转化为：
（1）建立一个函数模型，使其能较好的反映世界人口与时间之间的关系；
（2）利用建立的模型求解2100年时的世界人口数。
（二）收集数据 处理数据
学生活动1：（课前完成，课堂完成汇总。）
小组分工合作，收集不同年份的世界人口数据，汇总到导学案表1中。
（提醒学生：有些平台提供的是年初数据，有些提供的是年末数据，务必认真仔细.）
表1
| 年份 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 | 1987 | 1990 | 1995 | 1999 | 2005 | 2011 |
| 世界人口总数/亿 |
| 经过的时间x/年 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 27 | 30 | 35 | 39 | 45 | 51 |
| 世界人口总数/亿 |
| 经过的时间x/年 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 27 | 30 | 35 | 39 | 45 | 51 |
| 世界人口总数/亿 | |||||||||||
| 二次函数模型求解值 | |||||||||||
| 误差1 |
| 经过的时间x/年 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 27 | 30 | 35 | 39 | 45 | 51 |
| 世界人口总数/亿 | |||||||||||
| 指数型模型求解值 | |||||||||||
| 误差2 |
，其中t表示经过的时间，
表示t = 0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展产生了一定的影响，请同学们上网查阅资料，了解还有哪些人口模型，它们与我们学习的指数函数之间有怎样的关系？
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
