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视频课题：北师大版新教材第一册第四章 《对数运算与对数函数》第4节《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》
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安徽省高中数学新课程优质课比赛_4.4指数函数幂函数对数函数的增长比较
§4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【教材分析】
1. 教材的地位和作用：
本节内容是北师大版新教材第一册第四章 《对数运算与对数函数》 第4节 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》. 从“知识”上讲，是学生在已掌握了三种函数的图像和性质的基础上，进一步研究三种不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势. 它一方面可以加深学生对三种函数模型的理解与认识；同时为在后续学习中能根据这种增长差异，选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，进一步理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”的含义奠定了基础. 因此，知识上起到承上启下的作用.
从“方法”上讲，通过分析和实验，借助直观法实现比较. 一是从数据表的直观感受，使学生能直观的看出结论；二是借助于几何画板，通过调整参数，从函数图像的变化趋势来感受不同函数的增长. 同时也培养了学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学习能力.
2. 学情分析：
（1）认知上：
学生经历了指数函数、幂函数和对数函数概念的学习，对不同函数的增长情况已经有所了解，特别是指数函数与一次函数，指数函数与对数函数，这些经验为本节课的探究提供了知识储备，也为本节课的研究提供了方法思路.
（2）能力上：
学生已经具备了一定的归纳、概括能力，但缺乏严谨的思维习惯，解决问题时倾向于直观性的考虑，逻辑的严谨性尚需进一步培养，需要教师给予认知策略与方法的指导.
（3）情感上：
因为是高一新生，求知欲比较强，但参与意识，自主探索意识薄弱；对贴近生产生活的素材有浓厚的兴趣；在合作交流意识方面，发展不均衡，有待加强.
3. 教学目标与核心素养
（1）认识增长的概念，通过数表的直观，体会指数函数、幂函数、对数函数增长速度的差异，达到数学运算、直观想象核心素养水平二的要求；
（2）通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累直观方式和比较大小（快慢）的经验，达到逻辑推理核心素养水平二的要求.
4. 教学重点与难点
重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
难点：三类函数增长情况的结论以及函数增长快慢比较的常用方法.
突破难点的关键：从具体到抽象、特殊到一般，借助于直观实现比较，一是从数据表的直观感受，使学生能直观的看出结论；二是借助于几何画板，通过调整参数a，b，c，从函数图像的变化来感受不同函数的增长趋势，数形结合、定量计算与动态分析互相补充.
【教学方法】
（1）教法：“问题探究”、“教师启发引导”与“学生积极主动探索发现”相结合.
教学时需要明确增长的两点含义：一是增长的快慢实际上是函数的变化率，用平均变化率描述，也就是后期导数的大小；二是这里比较的是当自变量充分大时三种函数的增长情况，自变量较小时，比较增长没有意义. 由于数据不易计算和处理，在同一坐标系中也难以画出自变量充分大时的三类函数的图像，所以我尝试了以下的教学方法：以“问题探究”、“教师启发引导”与“学生积极主动探索发现”相结合.
实施：由具体到抽象，由特殊到一般，并借助于几何画板，调整参数
的取值，采用扩大变量，提高增速（比较幂函数与对数函数），或取对数转化，放缓增速（比较指数函数与幂函数）等方法，通过图像让学生直观感受三种函数的增长趋势.
（2）学法：
善于观察、勤于思考；善于动手、勤于总结；合作交流、自主探究；以及数形结合研究函数的思想方法.
【教学用具】多媒体辅助教学
【教学过程】
（一）创设情境，引入新课
晨雾茫茫碍交通，蘑菇核云蔽长空。化石岁月巧推算，文海索句快如风。——李尚志
【问题1】你能否体会诗中蕴含的数学知识？
释：光线在晨雾中按指数函数快速衰减，所以“晨雾茫茫碍交通”；铀核裂变时放出的中子数和能量都按指数函数快速增长，引起核爆炸；化石的放射性碳含量与化石年龄之间的对数函数关系可以推算化石的年龄；将海量数据经过合理编辑，可以使搜索资料所需工作量是数据量的对数函数，当数据大量增长时工作量增长很少，因此能做到“文海索句快如风”.
【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的学习兴趣，为导入新课作铺垫，体现了生活问题化、问题情境化的教学理念.
我们知道：给定常数，指数函数
，对数函数
，幂函数
都是增函数，而且当
时，
.
【问题2】这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？如何比较？
本节课就来探究：指数函数、幂函数、对数函数的增长比较.（点出新课）
【设计意图】通过知识内容问题化导入新课，明确学习的目标，解决为什么学（知识学习必要性）的问题，进而展开新知的探究.
二、师生互动，探究新知
【分析】比较方法：组内比——选拔，组间比——淘汰.
（1）从“形”的角度——函数图像的直观性；
（2）从“数”的角度——数的精确性.
（一）组内选拔
【探究1】参数a，b，c值的变化，三种函数的图像变化有何规律？你能得出怎样的结论？
（1）指数函数图像 （2）对数函数图像 （3）幂函数图像
借助于几何画板动态演示，让学生直观感受参数的变化引起图像变化的趋势.
【结论】三种函数在第一象限内的图像：
（1）指数函数
底数越大，增长越快，即：
“底大图高”
（2）对数函数
底数越小，增长越快，即：
“底小图高”
（3）幂函数
指数越大，增长越快，即：
“指大图高”
【设计意图】通过几何画板动态演示，让学生回顾三种函数的图像及其变化趋势，为本节课的新知探究做好充分的知识储备.
（二）组间淘汰
1. 幂函数
与对数函数的增长比较
方法1. 从“数”的角度
特例：
与
的比较.
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x |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
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1 |
2 |
 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
|
|
0 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
【设计意图】由具体到抽象、由特殊到一般，符合学生的认知规律.
方法2. 从“形”的角度
【设计意图】通过图表数据、几何画板
动态演示，数形结合分析，让学生形成
全方位的直观感受，得出结论。
【结论1】当
的值充分大时，幂函数比对数函数增长快，而且快得多.【探究2】调整参数
的值，当
时，看起来对数函数值大于幂函数值，即：
了，是真的吗？
分析：由于数据不易计算和处理，在同一坐标系中
也难以画出自变量充分大时的两类函数的图像，所
以采用扩大变量，提高增速的方法，借助于几何画板动态演示，让学生结合图像直观判断。
，
当
值充分大时，总有
，
也即：
，当
时，
.
【设计意图】以问题为导向，通过探究，引导学生深度思考，逐步揭示一般的规律与真相，突破了难点. 体现高效课堂的理念：合作研讨、实践探索. 通过知识的形成过程，进一步提高学生的直观想象、归纳总结的核心素养，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步解决怎么学、学什么（知识学习的方法与内容）的问题，从而达成学习目标.
2. 幂函数与指数函数的增长比较
特例1. 常用函数
与
比较（结合右图说明）
【探究3】调整参数
的值，当很大
时，看起来幂函数值大于指数函数值，
即：
了，是真的吗？
特例2.
与
方法1. 从“数”的角度
【结论2】当的值充分大时，指数函数比幂函数增长快，而且快得多.
方法2：从“形”的角度
分析：由于在同一坐标系中也难以画出自变量充分大时的两类函数的图像，所以采用取对数转化，放缓增速的方法，利用几何画板，通过图像让学生直观感受两种函数的增长变化趋势。
，
当
值充分大时，总有
，
也即：
，当
时，
.
【设计意图】多媒体教学手段的使用，将抽象化为具体，枯燥化为生动，将理性思维化为形象思维，最终促进了学生由形象思维向抽象思维的理性升华，突破了难点，达成学习目的.
三、实际应用、生活哲理
1、指数爆炸与对数的缓慢增长的前提是：自变量
x足够大时.
2、生活哲理
（1）指数爆炸
多一分努力， 只多了一点倦怠，
得千份收获. 便少了千份成就.
（2）对数函数的缓慢增长
一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为底的对数。上百万人口的城市，发展到上千万，才需要把电话号码增加一位就够用了，既说明对数增长的缓慢，反过来也说明了指数爆炸的威力.
【设计意图】体会数学与生活的联系，培养学生从数学的角度发现和提出问题，分析和解决问题的意识，感悟数学的应用价值.
四、技能演练、学以致用
例1. 假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每一天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番. 请问你会选择哪种投资方案？
解：设第
天所得回报是
元.
由题意，方案一：
；
方案二：
；
方案三：
做出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天所得的回报看，
在第一天到第三天，方案一最多；在第四天，方案一、方案二一样多，方案三最少；在第5天到第8天，方案二最多；第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多.
所以若是短期投资客选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三.
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
... |
|
一 |
40 |
80 |
120 |
160 |
200 |
240 |
280 |
320 |
360 |
400 |
440 |
... |
|
二 |
10 |
30 |
60 |
100 |
150 |
210 |
280 |
360 |
450 |
550 |
660 |
... |
|
三 |
0.4 |
1.2 |
2.8 |
6 |
12.4 |
25.2 |
50.8 |
102 |
204.4 |
409.2 |
818.8 |
... |
由数表可得投资1天到6天，应选方案一；投资7天，选方案一、方案二均可；投资8天到
10天，应选方案二；投资11天以上，应选方案三.
练习: 如图所示，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止. 将显示各容器中水面的高度h与时间t的函数图像用线段连接起来.
【设计意图】巩固新知，学以致用，解决干什么（知识的作用）的问题，体现了数学来自生活又应用于生活的作用与价值，让学生感受数学建模的一般思想与方法.
课堂练习：教材P117 练习1
五、归纳总结、反思提高
（1）学到了哪些知识？
（2）体会到哪些思想和方法？
（3）有哪些数学学习体验？
【设计意图】引导学生梳理知识，使知识更系统化，加强对知识的整体理解与把握，进一步培养学生总结、概括的能力，同时也反映了学生的学习效果.
六、布置作业 作业：教材P117 习题4-4 第1、2题
七、板书设计
课题 （2）   的增长比较
（一）组内选拔 特例1.  与  的比较
结论（1）（2）（3） 特例2. 与  的比较
（二）组间淘汰 【结论2】
（1） 与  的比较 【概括2】
特例：  与  的比较 【归纳小结】
【结论1】 【概括1】
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【设计意图】板书设计可以让学生对本节课所学的知识要点一目了然，让知识更系统化，更好的从整体上把握所学的知识内容.
八、教后反思
§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（学习任务单）
一、学习目标与核心素养
1. 认识增长的概念，通过数表和函数图像的直观，体会指数函数、幂函数、对数函数增长速度的差异，达到数学运算、直观想象核心素养水平二的要求；
2. 通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累直观方式和比较大小（快慢）的经验，达到逻辑推理核心素养水平二的要求.
二、学习重、难点
重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
难点：三类函数增长情况的结论以及函数增长快慢比较的常用方法.
二、新知探究
我们知道：给定常数
，指数函数
，对数函数
，幂函数
都是增函数，而且当
时，
.
【问题】这三个函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？如何比较？
方法：
（一）组内比——选拔
【探究1】参数a，b，c值的变化，三种函数的图像变化有何规律？你能得出怎样的结论？
（试完成下表）
（二）组间比——淘汰
1. 幂函数
与对数函数
的增长比较
特例：
与
的比较
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x |
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
（1）完成上表，并说明从表格数据你能得出怎样的结论？
【探究2】调整参数
的值，当
时，
与
的增长快慢如何？你能得出怎样的一般性结论？
2. 幂函数
与指数函数的增长比较
特例：
与
的比较
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
（1）完成上表，并说明从表格数据你能得出怎样的结论？
【探究3】调整参数
的值，当很大时，与的增长快慢如何？你能得出怎样的一般性结论？
例1. 假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每一天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.
请问你会选择哪种投资方案？试分析说明.
练习：如图所示，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止. 将显示各容器中水面的高度h与时间t的函数图像用线段连接起来.
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