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视频标签：不同函数增长的差异
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视频课题：高中数学新课程优质课比赛_4.4.3不同函数增长的差异_黄山
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安徽省高中数学新课程优质课比赛_4.4.3不同函数增长的差异_黄山
4.4.3不同函数增长的差异
一、教学目标
1.从具体实例出发，通过数形结合地比较有关函数图象和表格中数据的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数增长的差异；
2.借助信息技术，由具体函数图象出发探究不同函数增长的差异，体会数形结合思想和由特殊到一般的演绎思想；
3.在认识函数增长差异的探究过程中，经历了由部分到整体、由特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，发展数学运算、逻辑推理素养.
二、教学重点、难点
重点：一次函数、对数函数和指数函数各自增长的特点．
难点：归纳总结出不同函数增长的差异．
三、教学过程
（一）引入问题，探索方法
引导语：在前面的学习中，我们看到一次函数增长与指数函数的增长方式存在很大的差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，把握不同函数增长方式的差异，就可以根据现实问题的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.那么指数函数、一次函数、对数函数增长方式有何差异呢？
问题1:我们该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异？
追问1：函数的表示方法有哪些？在前面函数的学习中我们是哪些角度研究函数的的性质的？
追问2：你得到了什么启示，我们可以从哪些角度刻画函数的增长差异？
师生活动：教师提出问题，引导学生根据函数的图象、数表分析函数的增长差异.
设计意图：函数的表达方式有三种，在本章中由于学生研究函数增长的工具所限（没有导数工具），从解析式的角度无法得到结论.引导学生寻找比较增长差异的方法，体会研究函数的一般套路.
（二）实施方法，探究问题
探究．指数函数与一次函数的增长差异
探究1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间 上的增长差异．你能描述一下指数函数增长的特点吗？
问题2：不妨以函数 和 为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，观察函数值取值表，它们有什么差异？在同一直角坐标系中画出它们的图象.观察图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？
师生活动：教师提出问题，并在GGB中作出函数的图象，列出函数值取值表，引导学生通过观察函数的图象的位置差异和取值表中函数值的变化规律，发现函数 的增长速度在变化，而 的增长速度不变.
追问1：在 ，函数 和 的增长有何差异？
在 上，位于上方的指数函数 图象随着 的增大不断的接近一次函数 的图象，并交于点 ，然后居于下方；从函数值取值表上看，自变量 的增量相同时，指数函数函数值的增量是小于一次函数函数值的增量.这说明 内指数函数 的增长速度总体上没有一次函数 快.
追问2：在 ，函数 和 的增长有何差异？
扩大观察范围，自变量大于1.5以后，位于下方的指数函数 图象随着 的增大不断的接近一次函数 的图象，并再次相交，然后居于上方；从函数取值表上看，自变量 的增量相同时，指数函数函数值的增量不断变大，并且大于于一次函数函数值的增量，这说明指数函数 的增长速度开始没有一次函数 快，然后又逐渐超过一次函数.
追问3：在更大的范围内，函数 和 的增长有何差异？
继续扩大观察的范围， 的图象将一直保持在 的上方，并且二者离的越来越远， 的图象越来越陡，就像与 轴垂直一样；从函数取值表上看，自变量 的增量相同时，指数函数函数值的增量成倍的不断变大，一次函数函数值的增量不变.说明 的增长越来越快，就像爆炸性增长一样，而一次函数的增长与其相比就微不足道.
追问4：通过刚刚的过程，你能综述一下 与 的增长差异吗？
虽然函数 与 在 都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.尽管一开始 的增长速度会快于 的增长速度，随着 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度.
追问5：若以函数 和 为例，重复上速过程，你得到什么结论？请大家选择不同的指数函数和一次函数重复如上过程，你的到的结论是什么？
追问6：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？
师生活动：教师引导，并结合GGB动态展示，通过特殊的指数函数和一次函数的研究经验，引导学生归纳总结，教师予以补充，概括出一次函数和指数函数的增长差异.
一般地指数函数 与一次函数 的增长都与上述类似.
即使 值远远大于 值，指数函数 虽然有一段区间会小于 ，但总会存在一个 ，当 时， 的增长速度会大大超过 的增长速度，呈爆炸性增长.
设计意图：由特殊到一般、由部分到整体、由具体到抽象，数形结合，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养.
探究2．对数函数与一次函数的增长差异
问题3：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间 上的增长差异．你能描述一下对数函数增长的特点吗？
追问1：类比问题2，你计划怎样研究这个问题？
师生活动：学生通过类比规划研究方案：先取特殊的函数进行研究，然后归纳得到一般结论．
追问2：既如此，不妨以函数 和 为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象．
师生活动：先由学生独立完成，然后教师利用信息技术予以补充完善．对应表格和函数图象如下
追问3：观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？观察函数值的取值表，函数值的增量变化有什么规律，这说明了什么？
师生活动：教师提出问题，学生讨论得出结果．对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.
从图象上，发现函数 和 虽然在 上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异．随着 的增大，函数 的图象离 轴越来越远，而函数 的图象越来越平缓，就象与 轴平行一样；从函数值的取值表上看，自变量的增量相同时， 的函数值增量越来越小， 的函数值的增量保持不变，即 的增长速度在减小， 保持不变. 与 相比增长就很慢了.
追问4：如果将 放大 倍，再对函数 和 的增长情况进行比较，那么仍然有前面所述的规律吗？
师生活动：有了前面的经验，教师引导学生进行定性分析．从图象和数据上都可以看出，随着 的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小．所以一定存在一个 ，当 时， 的增长速度比 的增长速度小，并且 的增长速度还会持续减小下去．
追问5：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？
师生活动：有了对特定对数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．
一般地，对数函数 与一次函数 的增长情况都与上述情况类似.不论 的值比 的值大多少，在一定范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长会慢于 的增长，因此总会存在一个 ，当 时，恒有 .
设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长差异.
探究3．同时比较一次函数、对数函数和指数函数的增长差异
问题4：在问题2和问题3中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增长差异，如果将一次函数、对数函数和指数函数同时比较，你能得到什么结论？
追问1：在同一直角坐标系中画出一次函数 ，对数函数 ，指数函数 的图象，比较他们的增长差异？
师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索．函数图象如图所示．
从图象上同时比较三个函数，能够直观感受出，三个函数虽然都在增长，但增长速度明显不同
追问2：一次函数 ，对数函数 和指数函数 的增长有何差异？
师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充．
一般地，无论 、 、 取何值，三种函数在区间 上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值．
追问3：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？
师生活动：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论．教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即可，没有特定的标准答案．
设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数函数的性质，感受它们之间增长的差异，逐步体会“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
（三）课堂练习，深化理解
课本139页，练习题第1题，第4题.
师生活动：学生自主完成后，展示交流，教师点评.
设计意图：通过练习，深化对三种不同函数增长差异的理解.
（四）课堂小结，总结提升
教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：
（1）概述本节课研究一次函数、对数函数和指数函数增长的差异的基本过程．
（2）掌握不同函数增长的差异，有什么现实意义？
师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．
（1）本节课由特殊到一般、由具体到抽象，先分别比较一次函数与指数函数、一次函数与对数函数，然后再将三个函数放在一起同时比较．在比较它们增长的差异时，先从特定情况研究，分别通过图象、数据分析计算它们增长的差异，然后再归纳出一般情况．
（2）掌握了不同函数增长的差异，就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．
设计意图：（1）在前面两个课时中，是针对一个函数的研究套路“背景－概念－图象与性质－应用”．本课时是同时研究多个函数的相关性，通过总结研究过程，使学生初步了解对比地研究多个相关对象的基本套路．
（2）了解不同函数增长的差异的现实意义，可以使学生更好地掌握一次函数、对数函数和指数函数之间的联系，以及它们的差异，并能够学以致用，达到知识技能的灵活应用．
（五）课后作业，巩固知识
必做题：教材140-141页 习题4.4 第6、11题;
选做题：比较函数 和 在 上的增长差异.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
