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视频课题：人教版（2019）数学必修一《n次方根与分数指数幂》临沂兰陵
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人教版（2019）数学必修一《n次方根与分数指数幂》临沂兰陵
4.1.1 n 次方根与分数指数幂
教学设计（人教 A 版必修第一册）
教材分析
本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修
1 第四章第 4.1 节《n 次方根与分数指数幂》第１课时。它是“实数指数幂
及运算法则”的基础和前提，在整章中占有基础地位，学习的主要目的
是将指数从整数指数幂推广到实数指数幂，也为指数函数的研究做好准
备。
学情分析
我们知道，初中时学生已经掌握了乘方运算、开平方和开立方运算，
了解了整数指数幂的概念及其运算性质；又学习了正整数指数幂、零指
数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则；并在上一章
学习幂函数的过程中接触过二次根式的以分数为指数的幂的符号表示。
有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩
充指数范围的必要性。
教学目标与核心素养
课程目标
（一）知识与技能：
1. 理解根式的概念和性质，能进行根式的运算；
2. 能理解分数指数幂是根式的另一种形式，能将分数指数与根式
进行互化。
（二）过程与方法
1.通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法拓展到
n 次方根，并通过 n 次方根的性质导出分数指数幂；
2.利用多媒体等教学手段，节省教学时间，提高课堂教学效率。
（三）情感态度与价值观
在平等的教学氛围中，通过师生之间、生生之间的合作、交流和互评，
拉近学生之间、师生之间的情感距离。
数学学科素养
1.数学抽象：n 次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；
2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；
3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；
4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的
概念和相关性质。
教学重难点
重点：
（1）n 次根式概念及性质的理解；
（2）分数指数幂的理解；
（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质。
难点：n 次根式、分数指数幂概念的理解。
课前准备
教学方法：以学生为主体，采用类比发现，引导探究式教学，精讲多
练。
教学工具：多媒体。
教学过程
壱、 复习导入
初中学习了平方根、立方根的概念。
思考 1：若 x2＝3，x=？x 叫作 3 的什么？怎么表示？
思考 2：x
3=8，y
3=-8，求 x、y 分别叫作 8 和-8 什么？怎么表示？
那么，x
n=a，x 又是什么？这正是我们将要一起探究的：将指数的取
值范围从整数推广到实数。为此，需要先学习根式的知识。
设计意图：通过复习方根，导出本节课的研究对象，使学生明确学
习目标，并利用之前学习形成的思维习惯，引导学生进一步观察、研探。
二、新知探究
1．n 次方根
问题 1：a 的 4 次方根表示为 ；16 的 4 次方根表示为 ，即
16 的 4 次方根有 个，分别是 。
问题 2：a 的 5 次方根表示为 ；32 的 5 次方根表示为 ，-32
的 5 次方根表示为 。
设计意图：小组合作完成，加深了对 n 次方根的理解。
定 一般地，如果 x
n＝a，那么
X 叫做
a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N
*
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义
个
数 |
|
n 是奇数 a＞0 x＞0 x 仅有一个值，记
a＜0 x＜0
为 n a
n 是偶数 a＞0 x 有两个值，且互为相反数， |
记为±
n a
a＜0 x 不存在
2．根式
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(1)定义：式子 |
|
n a 叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫做被开方数 |
。
(2)性质：(n＞1，且 n∈N
*)
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ì
í
î
①()n＝a;ꢀ②＝ |
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a,n
为奇数
a ,n .
为偶数 |
设计意图：通过由几个熟悉的特例，加强对根式的理解，引导形成
根式的相关性质。
3．分数指数幂
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5 a5 |
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计算并观察 |
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5 a10 |
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4 a12 |
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观察这两个式子，结果的指数与被开方数中的指数，根式的根指数
有什么关系？
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分数 正分数 |
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m |
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指 指数幂 规定：a |
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n |
|
＝(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1) |
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|
数幂 |
|
负分数
指数幂 规定：a |
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m
n |
|
＝ |
|
1
m
n ＝
a |
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0 的分数 |
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(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)
0 的正分数指数幂等于 0 , 0 的负分数指数幂 没有意义 |
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指数幂
设计意图：小组合作完成，由特殊到一般，由整数指数扩展到分数
指数，再由其与已遵循的运算性质融合理解中，加深根式与分数指数幂
之间的转换。
4．有理数指数幂的运算性质
(1)a
ra
s＝a
r＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(a
r)
s＝
a (a＞0，r，s∈Q)．
rs
(3)(ab)
r＝
a b (a＞0，b＞0，r∈Q)．
r r
四、典例分析、巩固练习
题型一 根式的化简
(求值
)
例
1 求下列各式的值
|
|
(1) (- 8)
3
3 |
|
(2) (- 10) (3) 4 (3- p)4
2 |
|
(4) (a - b)
2 |
【答案】
题型二 分数指数幂的简单计算问题
例
2ꢀ求值
【答案】
|
|
2 2
8 = (2 )
3
3 3 |
|
2
3 3 2
´
= = =
2 2 4 |
|
16 2
3 3
- = 4´ (- )
( ) 4 ( ) 4
81 3 |
|
2 27
= =
( )
- 3
3 8 |
题型三 根式与分数指数幂的互化
例
3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
【答案】见解析
        【解析】
2
a × a = a ×a
2 3 2 2 3 |
|
2 8
2
+
= =
a a
3 3 |
|
|
|
1 4
3
a a = a×a = a
3 3 |
|
4 1 2
= =
(a ) a
3 2 3 |
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五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧；口诀巧记。
六、板书设计
七、作业
4.1.1 n 次方根与分数指数幂
1.n 次方根与根式定义与性质
2.分数指数幂
3.有理数指数幂运算性质
4.例题精讲及巩固 例 1 例 2 例 3
课本 107 页练习 1.2.3。
教学反思
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为
主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与
分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下
理论基础。
在教学过程中，对任何细节，都应鼓励学生追根溯源，凡事都去问
为什么，寻找它与其他事物之间的联系，运用类比联想去主动的发现问
题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识
网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习，使它逐
渐成为学生的一种根深蒂固的习惯。这样，可以增进热爱数学的情感，
应用数学的自信心和形成新的学习动力。
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