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视频课题：高中数学人教版必修第一册第五单元5.1.2《弧度制》
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高中数学人教版必修第一册第五单元5.1.2 弧度制
5.1.2 弧度制
教学设计
1.课时教学内容
5.1.2 弧度制
2.课时教学目标
（1）能理解弧度的意义；能掌握角度与弧度的换算；了解角的集合与实数集之间的一一对应关系；掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
（2）在教学过程中通过设置问题情境，培养学生发现和探究问题的能力，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养；领悟概念学习的一般方法和路径。
（3）通过自行车链条的传动和扳手的转动，亲身感受数学与生活的联系；通过合作探究，经历推理获得圆心角与弧长、半径之间的关系的过程，感受弧度制的实质是用弧长与半径的比值来度量角的大小，体会数学的统一美和简洁美。
（4）认识角度制与弧度制都是度量角的方法，二者是辩证统一的；总结概念学习的一般规律，实现知识的内化、吸收和迁移。3.教学重点与难点
教学重点:弧度制的定义;弧度制与角度制的换算。
教学难点：理解弧度制的定义。
4.教学过程设计
4.1创设情境，抽象问题
教师：图中的测量用具大家都认识吧？
众学生：长尺、卷尺、游标卡尺、螺旋测微器，都是测量长度用具
教师：对，我们还知道随着精度要求的不同，选用不同工具，获得不同度量单位制，并且不同长度单位之间可以换算，如：1m=10dm=100cm=1000mm，那么，在角度的度量里，除了已经知道的角度制，是否存在着其他的度量制呢？这就是我们今天研究的课题：角的度量制。
设计意图：通过回顾义务教育阶段所学的长度测量和不同长度单位换算的类比引出不同的单位制度量角的问题。
教师：请骑过自行车的同学举手！
大家都骑过自行车，请你观察过自行车前后齿轮的转动（多媒体播放动图），它们是通过链条传动的，链条移动某一确定的长度时,大齿轮转过的圆心角和小齿轮转过的圆心角，哪个大？哪个小？为什么？
学生1：大齿轮转过的圆心角小，因为角速度慢。
教师：很好！从图中看，因为大齿轮的半径大，小齿轮的半径小， 所以在链条移动某一确定的长度时，大齿轮转过的角度小，小齿轮转过的角度大。这说明圆心角、半径、弧长之间存在一定的关系.
教师:再如，用扳手转动螺帽的过程中,在扳手任取两点
，随着扳手的转动，旋转形成圆弧
，
，你能发现图中几何量（半径、弧长、圆心角）之间，具有哪些相等关系和不等关系？
学生2：半径不同，弧长也不相等，但转过的角度相同.
教师：很好！这再次说明圆心角、半径、弧长之间存在着关系，是怎样的关系呢？
设计意图：对学生来说，弧度制是一种新的度量角的单位制。在教学中，有教师釆用规定说，学生对其数学含义和价值不理解，心理不愿接受，学习缺少动力。本设计从学生熟知的两个生活情境入手，引导学生用数学的眼光观察世界，可以提高学习兴趣。从齿轮转动的例子,学生感知到同样的弧长在不同半径 的圆中所对的圆心角不相等；从扳手转动螺帽的例子，学生感知到扳手长度改变，相应的弧长也改变，隐含着“弧长与半径的比值为定值”，两个例子都为理解弧度制做好了铺垫。
4.2问题引领，逐步探究
问题1：如图，在圆
中，设
,圆弧
的长为
, 则
之间有怎样的关系？
学生3：由弧长公式可知
问题2：这个公式反映了孤长
与圆心角
、半径
之间的关系。那么圆心角的大小与哪些量有关？
学生4：角的大小与
这四个量有关。其中
和180是常数，
和
是变量。
问题3：你能用式子表示圆心角与这些量的关系吗？
学生4：
问题5：如果圆心角
变化，比值
是否发生变化？
众学生：发生变化
问题5：现把圆心角
固定，如果圆的半径变大，弧长也会变大，比值
是否发生改变？为什么？
众学生；不变，因为圆心角
固定，也就是角度
不变， 所以比值
不变。
教师:很好！我们用“几何画板”验证。改变圆心角
的大小时，比值
随之改变；固定圆心角时,改变点P的位置，弧长和半径
都变化，但比值
不变。
教师：因此，我们得到结论：圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关；比值
随着的确定而唯一确定。
设计意图：通过问题引导，学生回忆了在角度制下的弧长与圆心角、半径之间的关系，分析了三个量之间的关联，变形得到了圆心角与弧长、半径的联系， 发现了圆心角与比值（弧长与半径的比值）之间存在着的正比例关系，完成了理论推导。利用“几何画板” 软件,动态演示了圆心角的大小与这个比值之间的直观变化情况。因此,获得了圆心角与比值之间的对应关系，从而为接下来弧度制的定义提供了合理性。
4.3借力史实，建构概念
教师:在圆心角
与比值
的对应关系下，这就启发我们可以用什么来度量圆心角的大小呢？
众学生：用弧长与半径的比值来度量圆心角的大小。
教师：很好！既然可以用的值来度量角，那么你觉1弧度角可以怎样简单合理的规定呢？
学生5：当
时，
，这时的圆弧所对的圆心角可以规定为1弧度的角。
教师:很好！大数学家欧拉也是这么想的！ 早在1748年，数学家欧拉就直接用的值来度量角的大小，并称之为弧度制。
我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度。
教师：我们知道了1弧度角的定义，那1弧度角有多大呢？请同学们尝试着画出来。
用“几何画板”作图，并体会1弧度角与
角的大小关系。当
时，圆心角分别为
。（演示不同方向的旋转，得到圆心角为
）从而将圆中获取的
，推广到所有角满足的
。
教师：大数学家欧拉在研究弧度制时，选取的圆是半径为1的圆，叫单位圆。这样做的优点是什么？
在单位圆中，当弧长为
时，圆心角也为
。在弧度制下，角与弧长的度量统一起来，这样定义角也非常自然，同时也简化了与角有关的公式。
设计意图：通过前期的铺垫，学生自主构建了1弧度角的概念，通过与60°角的大小比较，学生能直观地感知1弧度角的大小，也为弧度制与角度制的换算做好准备。在此过程中，穿插引入弧度制的有关历史,让学生像数学家一样地思考和解决问题。取半径为单位长度,使角与弧长的度量统一起来，学生能体会到数学的简洁美、统一美。同时也为学生能用单位圆作为工具去研究任意角的三角函数、诱导公式以及三角函数图像和性质奠定基础。
4.4激活联系，完善认知
教师:角度制、弧度制都是角的度量制，同一个角 既可以用角度来度量，也可以用弧度来度量，它们之间一定有内在的联系，那两者之间有着怎样的关系呢？
学生6：我想到利用单位圆寻找，如一个圆周角，在角度制下它是360°,在弧度制下它是
rad,所以360°=
rad。
教师:很好！这位同学把圆周角分别用角度和弧度来度量，从而解决了换算问题。如果两边同时除以2,可以得到平角的两种度量：180°=
rad。那么，1°的角是多少弧度的角？ 1弧度的角又是多少度的角？
学生7：由180°=
rad两边同时除以180,可得 1° =
rad；若两边同时除以
,可得 1 rad=
教师：以后我们只要抓住180°=
rad这个关系进行角度与弧度的换算。同时弧度的单位rad通常略去不写。
教师:角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与之对应，每一个实数也都有唯一的角和它对应。
设计意图：同一个量用不同的单位度量，两个单位制之间必定存在联系。角度制与弧度制也是如此, 至此学生能体会角的两个度量系统的相容性,掌握两种度量的直接互换。表格中所填数值的对应性，就像设置在数轴上一样，便于学生直观感受到弧度制下角的集合与实数集R之间的对应关系。
4.5表达优化，类比识记
教师：弧度制的优点还能体现在其他地方.如，你能对比初中所学的扇形弧长和面积公式，说说弧度制下的扇形弧长与面积公式的优点吗？
学生板演1：角度制下：弧长，面积。
学生板演2：由得弧长公式，而面积，得到面积公式.
教师:很好！我们看到，采用弧度制，扇形的弧长和面积公式都简洁了，这正是引入弧度制的原因之一。
教师：扇形面积公式和学过的哪个面积公式类似？
众学生：和三角形的面积公式类似。
教师（追问）：这是偶然的吗？它们之间是否有着内在联系呢？（作为课后思考题）
设计意图：弧度制的优越性不仅在于用实数表示角，还表现在一些公式因为孤度制的引入得到形式上的简化。学生亲身经历简化过程，更容易理解扇形的几个量之间的关系，也能体会弧度制给解决问题带来的方便,这也是引入弧度制的原因。再由扇形的面积公式启发学生联想到三角形的面积公式，并留白让学生课后思考两者之间的关系（通过极限分割思想来联系两者）了解这些,让学生对弧度的认识上升到一个新的高度。
4.6课堂小结，凝练升华
小结1:本节课我们是按照怎样的研究路径来学习弧度制的？
学生15：我们先感受生活中的实例，分析角度制下的弧长公式，再给出1弧度角的定义以及在弧度制下角的代数表示，弧度制和角度制之间的换算关系，最后简化了弧长和扇形的面积公式。即研究途径为：背景--定义--表示--运算--性质.
小结2：谈谈角度制和弧度制的区别与联系。
众学生：角度制与孤度制的区别是度量单位不同（单位分别是角度和弧度），进位制不同（角度是六十进位和十进位，弧度是十进位），弧长公式不同（在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式都变得简洁了）； 他们的联系是两种度量角的单位制都与圆的半径大小无关，他们之间的换算关系是180°=rad。
教师:大家总结得很好！其实角的度量制还有很多，比如军事上的密位制，有兴趣的同学课后可以査找相关资料。并布置课后作业：课本176页第4,5,6题
设计意图：反思总结，形成知识体系。将角度制与弧度制进行对比，找到区别和联系，为今后理解和正确使用弧度制带来方便。回顾整节课的学习过程，即经历了一个概念学习的科学探究过程，这对学生以后的概念学习会起到积极的作用。并通过作业习题巩固概念，使学生知识技能、综合能力得到提升。
5. 目标检测设计
题1：
（设计意图：帮助学生熟悉掌握角度制与弧度制之间的相互转化）
题2：对比初中所学的扇形弧长和面积公式，说说弧度制下的扇形弧长与面积公式的优点吗？
（设计意图：除要求学生熟练掌握角度制与弧度制的换算、提升学生逻辑推理素养外，还展示出弧度制下的弧长公式、扇形面积公式的形式简洁美，让学生感受弧度制带来的便利）
题3：扇形面积公式和学过的三角形的面积公式类似，这是偶然的吗？它们之间是否有着内在联系呢？
（设计意图：作为课后思考题留给学生交流讨论两者之间的关系（通过极限分割思想来联系两者），了解这些能让学生对弧度的认识上升到一个新的高度）
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
