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视频课题：人教A版数学必修1第四章第4.2.1节《指数函数的概念》
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人教 A 版数学必修1第四章第 4.2.1节《指数函数的概念》
4.2.1 指数函数的概念
一、教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.1节《指数函数的概念》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。
二、核心素养目标
1.通过实际问题提炼指数函数的概念，达到数学抽象和直观想象核心素养的层次.
2.理解指数函数中底数的取值范围，达到逻辑推理核心素养的要求.
三、教学重难点
1.教学重点 理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义。
2.教学难点 将实际问题转化为数学模型，理解指数函数增长变化的特点。
三、教学过程
（一）知识复习
1.对于幂ax(a>0)的运算, 指数x的范围已经推广到了实数；
2.通过函数性质的学习和对幂函数的研究，我们了解了研究函数的一般方法。
（二）教学过程设计
问题1：
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数的不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表是A，B两地景区2001年至2015年的游客人次的逐年增加量．
|
时间/年 |
A地景区 |
B地景区 |
|
人次/万次 |
年增加量/万次 |
人次/万次 |
年增加量/万次 |
|
2001 2001 |
6 00
|
|
278 |
|
|
2002 2002 |
6 09 |
|
309 |
|
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2003 2003 |
6 20 |
|
344 |
|
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2004 2004 |
6 31 |
|
383 |
|
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2005 2005 |
6 41 |
|
427 |
|
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2006 2006 |
6 50 |
|
475 |
|
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2007 2007 |
6 61 |
|
528 |
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2008 2008 |
6 71 |
|
588 |
|
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2009 2009 |
6 81 |
|
655 |
|
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2010 2010 |
6 91 |
|
729 |
|
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2011 2011 |
7 02 |
|
811 |
|
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2012 2012 |
7 11 |
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903 |
|
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2013 2013 |
7 21 |
|
1 005 |
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2014 2014 |
7 32 |
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1 118 |
|
|
2015 2015 |
7 43 |
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1 244 |
|
问1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
学生回答：A地区增长的慢，B地区增长的快。
设计意图：让学生观察数据，对数据的变化特点有个直观的认识，为我们后面的计算论证这一直观认识做好铺垫。
问2：能否作出A，B两地景区游客人次变化的图象，说明两地景区游客人次的变化情况？
通过计算机操作可得图象如下：
学生回答：A地区近似于直线上升（呈线性增长），B地区增长的越来越快。
老师：说的很好！我们直观的看出A地区近似于直线上升（呈线性增长），B地区有别于A地区，增长的越来越快。A地区近似于线性增长，何为线性增长？也就是年增加量保持不变的一种增长方式，我们可以对表格中的数据进行代数运算，进一步的探索A、B两地游客人数的变化规律。
设计意图：画图象是处理数据的常用方式，通过观察图象让学生更为直观的看出两地游客人次的变化规律，同时引导学生从直观的规律出发思考如何量化说明具有明显规律的A地区游客人次的变化规律。（利用做差，求年增加量）
学生活动：（结果如下表）
总结：观察图象和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)，但是B地区用年增加量不固定，也在增长。并且设A地区
问3：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？（补充“增长率”的概念）请试着计算。
【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长.
也就是说，从2001年起，B景区游客人次变化规律为：
1年后，游客人次是2001年的___
___倍；
2年后，游客人次是2001年的__
____倍；
3年后，游客人次是2001年的___
___倍；
··· ··· ··· ···
年后，游客人次是2001年的___
___倍；
如果设
年后的游客人次是2001年的y倍，那么y与
的关系式？
.
这是一个函数，其中指数
是自变量.
设计意图：把线性增长和指数增长摆在一起有对比的去观察，强化学生对指数增长的认识，明显能看出指数增长的速度远大于线性增长。
问题2：
1，良渚文化引入，引导学生思考考古学家断代的方法是什么？（碳14测年法）
2，当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按照确定的比率衰减（称为衰减率），若年衰减率为p，你能表示出死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间有的关系吗？
学生回答：
3，科学家发现：死亡生物体内碳14含量大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.你能根据这个条件求出p吗？
学生回答，老师板书：
师生活动：教师提出问题，并让学生类比问题1对提出的问题进行思考．通过对问题的分析，引导学生用函数
刻画碳14衰减的规律．
设计意图：通过刻画碳14衰减的问题，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽象得到指数函数做准备．
问题3：比较两个实例：B地景区游客人次增长的函数解析式
与碳14衰减的函数解析式
有什么共同特征？
师生活动：引导学生从数据、图象、解析式等角度进行归纳概括，发现刻画问题1中的指数增长和问题2中的指数衰减的函数的共同特征．从解析式上来看，如果用字母
代替底数，那么上述函数
和
就都可以表示为
的形式，其中指数
是自变量，底数
是一个大于0且不等于1的常量．从而引出指数函数的概念：
一般地，函数
叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R．
问1：指数函数概念中为什么明确规定
（学生举出相应反例）
问2：指数函数概念中定义域为什么实数R？
学生回答：指数幂的指数可以是任意实数
问3：观察指数函数的结构，总结一下相关特点。
学生回答：底数
，表达式前面的系数为1，后面的常数为0.
问4：观察指数函数的结构，试着说一说它与幂函数的异同。
学生回答：相同点是都是幂指数形式，不同点是自变量的位置不同。
设计意图：以提问的形式强化学生对定义的理解。
例1：已知函数
，且
，求
的值．
师生活动：教师引导学生，要求出
的值，应先求出
的解析式，即先求
的值．而已知
，可由此求出
的值，于是可得解．
设计意图：通过求函数解析式，并根据解析式求不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念．
例2：（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然
，但
的增长速度大于
；根据上述数据，并考虑实际情况，在2011年2月某个时刻就有
，这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后
，游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于
增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
（2）在问题2中，某生物死亡后，过了10000年，它体内碳14的含量衰减是原来的百分之几？
设计意图：在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固概念，进一步理解概念．
总结：在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：
设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属性，得出指数函数的概念．
1、指数函数概念
2、指数函数解析式的特征
3、两类指数函数模型即指数衰减模型和指数增长模型．
五、作业布置：
1.作业本P118 2.画出函数
和
图象和性质
六、板书设计：
七、课后反思：
学生活动：
问题1
|
时间/年 |
A地景区 |
B地景区 |
|
|
人次/万次 |
年增加量/万次 |
人次/万次 |
年增加量/万次 |
|
|
2001 |
600 |
|
278 |
|
|
|
2002 |
609 |
|
309 |
|
|
|
2003 |
620 |
|
344 |
|
|
|
2004 |
631 |
|
383 |
|
|
|
2005 |
641 |
|
427 |
|
|
|
2006 |
650 |
|
475 |
|
|
|
2007 |
661 |
|
528 |
|
|
|
2008 |
671 |
|
588 |
|
|
|
2009 |
681 |
|
655 |
|
|
|
2010 |
691 |
|
729 |
|
|
|
2011 |
702 |
|
811 |
|
|
|
2012 |
711 |
|
903 |
|
|
|
2013 |
721 |
|
1005 |
|
|
|
2014 |
732 |
|
1118 |
|
|
|
2015 |
743 |
|
1244 |
|
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