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视频课题：高中数学沪教课标版高一上册第2章不等式2.4 基本不等式及其应用课题一 最大容积问题_上海师范大学附属中学
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高中数学沪教课标版高一上册第2章不等式2.4 基本不等式及其应用课题一 最大容积问题_上海师范大学附属中学
课题一 最大容积问题
一、学习任务分析 1.1 教材总体内容
本课位于沪教版高一年级第一学期第二章《不等式》的第4节“基本不等式及其应用”学习之后，第五节“不等式的证明”之前，是探究与实践课题.本课是建立在学生熟练掌握两个基本不等式，并能用来解决最值问题的基础上，继续使用化归、类比、归纳、猜测的方法来探究三个正实数的算术——几何平均数不等式的应用，有助于学生解决实际问题.
1.2 本课时教材内容结构
横向比较三套教材中本课时的内容结构：（1）沪教版：用正方形纸制成无盖长方体→用剪去小正方形变长x表示长方体容积V→类比两个正实数的均值不等式类比猜想三个正实数的结论→证明猜想的正确性→求解容积最大值.该教材内容结构的主干是：情境引入→函数建模→类比猜想→检验证明→问题解决.
（2） 人教版选修4：类比两个正实数的均值不等式类比猜想三个正实数的结论→作差法证明→例题1 变式证明→例题2 求无盖长方体的最大容积.该教材内容结构的主干是：类比猜想→检验证明→定理应用.
（3）苏教版七年级上册：正方形纸折成无盖长方体→用a，b来表示长方体容积→计算不同a，b时对应的容积值→观察数据归纳长方体容积最大值. 该教材内容结构的主干是：情境引入→函数建模→数学实验→归纳规律.
1.3本课时在教材章节中内容的结构
1.4 不等式背景分析
（1）本章常涉及的思想方法有：类比推广，特殊到一般，数形结合，转化与化归思想等； （2）让学生深刻体会不等式、方程和函数之间的关系.；
（3）让学生亲身经历讲实际问题抽象成数学模型并加以解决的全过程； （4）让学生熟练掌握一些基本方法证明简单的不等式.
1.5 功能分析
（1）智力价值：有利于领会转化化归、类比猜想等思想方法；借助数学实验，有利于领会
2
数形结合的思想；有利于培养会分析问题、解决问题的基能力； （2）应用价值：提高运用基本不等式的应用能力； （3）教育价值：提升学生思维能力.
1.6 本课时的知识结构
基本不等式2→三个正实数的均值不等式→不等式证明→三个正实数的均值不等式的应用
二、学情分析 2.1 预备知识分析
学生理解不等式的性质，会解一元二次不等式以及其他不等式，会抽象一些简单的实际问题为数学问题，熟练掌握两个基本不等式，并能用来解决最值问题.
2.2 学习心理分析
动手操作的愿望强，有一定数学实验的能力；有一定的空间想象能力；有一定的分析问题能力；数学思维不够严密；运算和证明能力有所欠缺；学习数学缺乏创造性和批判性.
2.3 达成目标分析
（1）通过数学实验，引导学生更直观地类比猜测结论；
（2）通过情景问题的变式，学会利用基本不等式求最值问题的转化与变形方法； （3）解决实际问题，培养学生学习数学的兴趣.
2.4 学习重点与难点
重点：在问题解决过程中，经历数学建模，领会转化与化归思想； 难点：三个正实数的算术——几何平均数不等式的应用.
三、学习目标分析 3.1 教学目标分析
（1）类比猜想、理解掌握、熟练应用三个正实数算数—几何平均数不等式； （2）体会特殊到一般、用数学知识解决实际问题的过程与方法； （3）通过建模将实际问题转化为数学问题，提高学习数学的兴趣.
3.2 本节课认知结构
感知（问题提出）→想象（探究新知）→概括（明确命题）→ 固化（命题证明）→应用（命题应用）→结构（概念结构）
四、制定教学主线
五、设计实施路径
3
六、选择教学媒体
DIMA平台（计算器，教学软件Geogebra，电子白板，实时交互的网络环境）
七、安排教学环节
课前准备→问题提出→探究新知→问题解决→问题再探→课堂小结→课后评测
八、选取学习素材 （1）书本例题变式；
（2）相关数学教学期刊杂志.
九、安排教学活动 教学 环节
教师活动
学生活动
设计意图 课前
准备
发放学案，准备每人一张边长为20厘米的正方形纸. 完成学案第一页，
用正方形纸折一个
无盖立方体.
课前预习，
动手操作，激发学生兴趣.
问题提出 每组准备一张边长为20厘米的正方形纸，在它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子.（不妨设剪去的小正方形的边长为 厘米
折纸，
标出盒子的长宽高
经历从平面到立体的过程，寻找对应元素的关系. 如果要使得制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米？（用x来表示盒子的
容积V）
学生建模
构建合适模型， 解决实际问题. 使用函数的数据表和Geogebra软件函数绘图，引导学生猜测结论.
使用计算器TABLE功能，猜测结论 数形结合， 猜测结论.
探究新知 带领学生回忆基本不等式2，包括等号成立条件，文字叙述，应用，几何意义，以及注意事项.
复习基本不等式的相关概念
回顾相关概念.
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引导学生类比猜测三个正实数的相关结论.
用类比的方法将基本不等式从二元推广到三元，甚至N元的情况.
类比猜想. 积为定值， 和有最小值； 和为定值， 积有最大值. 给出两种证明方法，分析并讲解. 理解两种证明
通过转化思想，把无理不等式转化为整式不等式，为下节课不等式证明的作差法铺垫. 问题
解决 有一张边长为20厘米的正方形纸，在它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子. 如果要使制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米？
使用三个正实数的几何—算术平均数不等式解决问题
本题考察学生对不等式的应用.
变式：有一张边长为80厘米，宽为50厘米的长方
形纸，在它的四个角各剪去一个小正方形后，再折成一只无盖的盒子. 如果要使得制成的盒子的容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少厘米.
使用三个正实数的几何—算术平均数不等式解决问题 由于没有注意到取等情况，会产生错误，再次强调注意事项.
问题再探
讲解两种不浪费材料的剪裁正方形纸的方式.
学生求解制成无盖盒子的容积，并观察两种模型下，比较盒子的容积. 打破固定思维， 合理引出不浪费材料的模型最优. 如果边长为20厘米的正方形纸的材料都用尽，盒子的最大容积是多少？
使用三个正实数的几何—算术平均数不等式解决问题 经历特殊到一般， 得到理论上容积最大的情况. 课堂
小结
展示学生课前折纸作品.
学生畅谈课堂收获
总结回顾.
十、设计评价方式
课前学案、课堂提问、课后学习评价表
课程自评表
班级： 姓名： 学号： 学习主题
学习表现 水平程度（相应的括号打√）
最大容积问题
课前预习
自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 课前参与程度 自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 小组合作交流效果
自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ）
5
实验猜测参与程度 自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 类比推广参与度 自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 课堂练习解决情况 自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 课后探究反思意识
自评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 互评：认真（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ）
课程评价表
学习主题
课堂形式 水平层次（相应的括号打√）
最大容积
问题
课题兴趣程度 颇感兴趣（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 教学环境（未来教室） 喜欢（ ）；一般（ ）；不喜欢（ ） 教学工具（计算器）
喜欢（ ）；一般（ ）；不喜欢（ ）
教学工具（GGB软件） 喜欢（ ）；一般（ ）；不喜欢（ ） 教学工具（电子白板） 喜欢（ ）；一般（ ）；不喜欢（ ） 教学工具（拍照投影） 喜欢（ ）；一般（ ）；不喜欢（ ） 合作学习形式 颇感兴趣（ ）；一般（ ）；没兴趣（ ） 课程收获
有（ ）；一般（ ）；没有（ ）
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