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视频标签：复数的几何意义
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视频课题：安徽省高中新教材优质课《7.1.2复数的几何意义》教学设计
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安徽省高中新教材优质课《7.1.2复数的几何意义》教学设计
7.1.2 复数的几何意义
内容分析
一、课时内容分析
复数本质上是一对有序实数，因此与利用数轴表示实数类似，可以借助建立了直角坐标系的复平面来表示复数. 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数， 轴叫做虚轴，虚轴上除原点外的点都表示纯虚数.
利用复平面表示复数，可以直接得到复数的两种几何意义：复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的.在引入复数的代数形式时，教科书从复数 本质是一对有序实数对 出发，基于有序实数对可以看成是平面直角坐标系中点的坐标，因此，复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的；基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，因此复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
复数与以原点为起点的平面向量是一一对应的，于是用复数对应的向量的模定义复数的模.依据复数的模的定义，实数的模与实数的绝对值是一致的.熟练地求复数的模是复数代数运算和复数三角形式表示的基础.
利用几何直观引入共轭复数，更多地关注互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称这一几何性质．
复数的几何意义让“神秘”的复数得以直观呈现，在对复数的几何意义的探究过程中，可以提升学生的逻辑推理、直观想象素养．
二、课时教学重点
复数的几何意义和在复平面内表示复数.
学情分析
一、认识基础分析
学生在义务教育阶段已经明确了实数与数轴上的点之间存在一一对应关系，理解实数绝对值的概念及其几何意义，在高中第二册第六章《平面向量及其应用》中学习了平面向量的相关知识，掌握了平面向量的坐标表示及其平面向量模的计算，这些为理解复数的几何意义以及复数模的概念奠定了基础. 由实数系向复数系扩充，相应的点由数轴上的点过渡到平面直角坐标系中的有序数对，从一维向二维转变，这对学生来说思维必然经历一次跳跃.
二、课时教学难点
复数的几何意义.
突破难点的策略：
（1）认识清楚复平面中建立了直角坐标系来表示复数，复数 用复平面内的点 表示．复平面内的点 的坐标是 ，而不是 ，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i.
（2）对于复数的向量表示，教科书仍然从复数 本质上是一对有序实数对 出发，基于有序实数对也可以看成是平面直角坐标系中向量的坐标，容易得到复数集C与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，相等的向量表示同一个复数．
目标分析
一、课时教学目标
（1）理解复数的几何意义.
（2）在复平面内表示满足一定条件的复数.
二、教学目标解析
达成目标（1）的标志是：能够准确地在复平面内表示复数（画出复数对应的点和向量），能准确地对复平面、实轴、虚轴、共轭复数等定义进行辨析.
达成目标（2）的标志是：会求复数的模，能在复平面内画出复数的模刻画的一些常见几何图形——圆、圆形区域和环状区域等.
三、课堂评价量表
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知识点 |
水平层次 |
评价方式 |
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水平一 |
水平二 |
水平三 |
个人 |
同学 |
教师 |
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复数的几何意义 |
能够准确地在复平面内表示复数（画出复数对应的点和向量） |
理解复平面的由来，理清复数与向量之间的关系
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理解虚数单位i的几何意义，并自主探究复数的几何意义 |
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共轭复数的概念 |
能准确地对共轭复数定义进行辨析.
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从代数角度和几何角度理解共轭复数概念 |
理解和自主探究共轭复数的相关性质 |
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复数模的概念 |
会求复数的模，能在复平面内画出复数的模刻画的一些常见几何图形——圆、圆形区域和环状区域等. |
理解复数模的概念和实数绝对值概念的一致性 |
理解和自主探究复数的模的相关性质
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量表包含三个水平层次，后一水平层次要求包含前一水平层次要求.
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课堂教学前分发给学生，人手一份.方便学生
（1）对自己、对同学做出客观评价;
（2）明确自己对课堂教学内容的掌握程度及努力方向.
教学方法
结合以上教学问题诊断分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，引领学生追溯历史，模拟当年数学家对复数坐标表示的探索过程，鼓励学生主动参与，合作学习，还学生学习的主动权，拓展学生的发展空间，引导学生挖掘自己的创造潜能，开发自己的创造力，增加学生自己做数学家的成功体验.
教学过程
一、复习回顾，提出问题
师生活动：结合任务单，随机提问，让学生回顾上一节课所完成的任务，描述从实数系到复数系的扩充过程以及复数的相关概念，强调复数是由实部和虚部来唯一确定.
问题1：我们知道，实数与数轴上的点已经建立起一一对应关系.在将实数集扩充到复数集的过程中，我们又增添了一些新的数，那么增添的这些数还能在实数轴上表示出来吗？
【设计意图】从学生熟悉的知识点出发，引发认知冲突，点出本节课所要解决的问题.
二、推理分析，探索新知
其实自从虚数闯进数的领域，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解. 数学家高斯认为可以把1看成向前1，-1可以看成向后1， 看成侧向1.18世纪丹麦测量学家韦塞尔在高斯的这种想法下，借助笛卡尔的平面直角坐标系，给出了复数的几何解释.
问题2：韦塞尔认为 可以看成是将1所对应的点绕原点旋转逆时针180°得到-1所对应的点，那么 ， 按照这种想法又将得到什么样的点呢？
问题3：我们知道 ，那么 按照韦塞尔的想法又将得到什么样的点呢？
师生活动：组织学生作图并展开小组讨论， 可以看成是将1所对应的点绕原点逆时针旋转180°的一半，也就是旋转90°，这样，我们就得到一条与实数轴垂直的直线，由一维坐标轴自然过渡到二维坐标平面.
【设计意图】重现数学发展史上数学家们所经历的困惑以及为解决问题所作出的努力，通过这些历史背景知识很好地渗透数学文化，激发学生的求知欲望，提升学生逻辑推理和直观想象的能力.
问题4：按照这个想法，你能表示出 对应的点吗？这些位置与复数的实部虚部存在什么关系？
问题5： 对应的点又该如何表示吗？任一复数 在这个坐标平面内都能找到唯一的点与之对应吗？
师生活动：提问学生，让学生在平面直角坐标系中找出相应的点.
【设计意图】循序渐进，从易到难，进一步体会复数和平面直角坐标系上的点之间的一一对应关系.
如图，点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，复数 可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.
按照这种表示形式，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.
复数 复平面内的点
提醒学生注意：①虚轴上对应的点不都是纯虚数；
②虚轴的长度单位是1，不是i.
问题6：回忆一下之前我们所学的知识，还有哪些数学元素也可以与平面上的点对应呢？
平面向量
进一步可以得到
为方便起见，我们常把复数 说成点 或说成向量 .由于数学中研究的向量是自由向量，因此，相等的向量表示同一个复数.
【设计意图】把新学习的知识与之前学习的知识进一步融合，让学生在发现中学习，并理解知识点之间的关系，有利于对新知识的理解和旧知识的巩固.
学生练习：设 ，请在复平面内画出复数 对应的点 和向量.
问题7：复数 对应的点 存在什么关系？为什么会存在这种关系？
一般地，当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 的共轭复数用 表示.
问题8：同学们能举一些互为共轭复数的例子吗？
提醒学生注意： .
【设计意图】以具体实例为支撑，让学生总结归纳出共轭复数的概念，用通过让学生举例子的方式加深对这一概念的理解.
问题9：继续观察，这两个向量长度还存在什么关系？
向量 的模叫做复数 的模或绝对值，记作 .
即 ，其中 .
问题10：你们能举出一些与 模相等的复数吗？这样的复数有多少个？
问题11：复数的绝对值的概念与初中学习的实数的绝对值的概念是否冲突？复数的模是否可以比较大小？
【设计意图】由于复数与以原点为起点的平面向量是一一对应的，因此用复数对应的向量的模定义复数的模是非常合理的.同时，按照复数模的定义，实数的模与实数的绝对值协调一致.通过以上问题帮助学生融会贯通地认识复数的模的概念.
三、精选例题，应用巩固
例1.设 ，在复平面 对应的点为 ，那么满足下列条件的点 的集合是什么图形？
（1） ；（2）
【设计意图】例题的设置让学生在解决实际问题的基础上，进一步理解和巩固复数的模的概念，提升学生的直观想象素养.
学生练习：教科书P73练习
四、总结反思，深化认知
问题12：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想等方面谈谈.
师生活动：学生思考发言，学生之间相互补充，教师进行完善.
【设计意图】培养学生自觉总结、善于回顾的习惯，推进学生主动积极建构知识体系.强化对复数的几何意义以及复数的模、共轭复数等相关概念等理解.
五、课后作业
1.课本习题7.1 必做题 5、7、8；
选做题 10、11.
2.我们知道，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.依照这个规定，复数的四则运算又如何呢？
【设计意图】加深本节课所学知识的理解，同时也为下一节内容的学习作一个铺垫.
六、板书设计
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