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视频标签：等式性质与不等式性质
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视频课题：人教版必修第一册第二章2.1等式性质与不等式性质（第二课时）芜湖教学设计
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人教版必修第一册第二章2.1等式性质与不等式性质（第二课时）芜湖教学设计
2.1等式性质与不等式性质（2课时，单元教学设计）
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单元学习基本信息 |
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学科 |
数学 |
实施年级 |
高一 |
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使用教材版本 |
人民教育出版社A版2019年必修第一册 |
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单元主题名称 |
2.1等式性质与不等式性质 |
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单元课时 |
2课时 |
一、单元内容和内容解析
1. 内容
不等关系与不等式，两个实数大小关系的基本事实，等式性质与不等式的性质.
2. 内容解析
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础. 等式、不等式分别是相等关系、不等关系的数学表达形式，它们是研究数学问题的基本工具.
两个实数大小关系的基本事实是研究不等式性质的逻辑基础，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，即转化为判定两个实数差的符号. 两个实数大小关系的基本事实是比较“数与式的大小关系”的基本方法，是解决不等式问题的基础；同时，基本事实使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为证明不等式提供了运算工具，使不等式的证明具有明显的逻辑性.
等式性质可分为相等关系自身的特性和相等关系对运算的“不变性”两类. 从自身特性看，包括等式的两个基本性质，“对称性”和“传递性”，它们是由相等关系本身决定的性质. 从运算角度看，包括等式的另外两个基本性质，即相等关系对“加法、乘法”这两个基本运算中的不变性，具体为等式两边加或乘同一个实数，等式仍然成立；还包括由此派生出来的相等关系对各种运算的不变性.
不等式的基本性质与等式的基本性质蕴含着相同的数学思想方法，也包括不等关系自身的特性和不等关系对运算的“不变性、规律性”两类. 不等关系自身的特性有“反对称性”和“传递性”两种.“反对称性”是不相等的两个实数大小关系的两种等价表达形式，是实数序特性的体现；“传递性”反映了三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现. 不等关系对运算的不变性、规律性，是指对不等式的两边同时进行“加法、乘法”等运算，得出新的不等关系. 因为“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算不具有“保序性”，这也是不等式性质与等式的性质的主要差异.
等式的基本性质是研究不等式基本性质的类比对象，不等式的基本性质与等式的基本性质都是“式的性质”，具有相似性，所以可根据等式基本性质中蕴含的数学思想来研究不等式的基本性质.不等式的基本性质又是研究不等式的一些常用性质的基础，可以借助推广和特殊化的方法由不等式的基本性质得出不等式的其他一些常用性质.实数大小关系的基本事实和不等式的性质都是解决不等式问题的基本依据.
本单元教学重点为：实数大小关系的基本事实的理解和运用，梳理等式基本性质中蕴含的思想方法，探究不等式的基本性质.
二、单元目标和目标解析
1. 目标
（1）根据实际问题中蕴含的不等关系抽象出不等式.
（2）理解两个实数大小关系的基本事实，体会其在比较“式的大小”以及证明不等式中的作用.
（3）梳理等式的基本性质中蕴含的数学思想方法，即相等关系自身的特性和相等关系对运算“不变性”.
（4）运用等式的基本性质中蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质，发展逻辑推理素养.
（5）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质，了解“一般化”“特殊化”等研究数学问题的方法，发展逻辑推理素养.
（6）运用实数大小关系的基本事实和不等式的性质解决简单的不等式问题，发展逻辑推理素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是:
（1）学生能够在实际问题情境中，发现其中所蕴含的不等关系，并用不等式表达.
（2）学生能够明晰基本事实，把比较两个实数的大小关系转化为比较这两个实数的差与0的大小关系，即转化为判定这两个实数差的符号. 能运用两个实数大小关系的基本事实比较“数与式的大小”、证明不等式的基本性质，体会此基本事实是比较数与式的大小的基本方法.
（3）学生能够梳理出等式的基本性质包括两个方面:一是相等关系的自身特性，包括“对称性”和“传递性”；二是相等关系对“加法、乘法”运算的不变性，即等式两边加或乘同一个实数，等式仍然成立.
（4）学生能够运用等式基本性质中蕴含的思想方法类比等式的基本性质，猜想并证明不等式的基本性质；体会“运算中的不变性、规律性”在研究不等式的基本性质时的“引路人”的作用. 能够对比不等式与等式的基本性质说出两者的共性与差异.
（5）学生能从不等式的基本性质出发，从对基本性质“一般化”的角度，猜测并证明不等式的一些常用性质.
（6）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等式.
三、教学问题诊断分析
不等式性质的探究是以实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式的性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段学习过等式的性质和不等式的性质3、性质4，但初中是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没有进行严格的证明，也没有挖掘这些性质中所蕴含的思想方法.高中阶段对等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维，但学生会有以下几个方面的困难.
（1）学生理解实数大小关系的基本事实不够透彻.学生认为该事实是顺理成章的，对其认识只停留在运用此基本事实比较两个实数大小的层面，理解深度达不到要求.教学中，教师要让学生理解实数大小关系的基本事实使实数的运算参与到实数的大小比较中，具有“说理”的价值，为不等式性质的论证提供了运算工具.
（2）学生对梳理等式的基本性质，包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两种思想方法存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用教师直接点拨与学生对性质的特点进行归类相结合的方式，梳理出每类性质的特点.
（3）学生类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中阶段学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质的程度.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数大小关系的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.
（4）学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单不等式存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用分析法进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会运用“发展条件、转化结论、寻求联系”证明较复杂命题的一般思路.
本单元的教学难点为:理解实数大小关系的基本事实；梳理等式的基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质；运用不等式的性质证明简单的不等式.
四、单元教学支持条件分析
借助物理天平、电子天平等用试验的方式引入对相等关系与不等关系的研究讨论，在进行不等式的基本性质的教学时，为了帮助学生理解不等式性质的几何表现形式，可利用信息技术制作数轴上的点动态平移的图形.利用智慧课堂组织交互式课堂、希沃白板的传屏功能等及时展示学生的研究、证明过程.
五、课时教学设计
第一课时
课时教学内容
本课时主要内容:从实际问题中抽象出不等关系及其表示;理解两个实数大小关系的基本事实，体会其在比较“式的大小”以及证明不等式中的作用.
课时教学目标
（1）通过实际问题感受现实世界中的相等关系和不等关系是普遍存在的，从实际问题中抽象出不等关系及其表示.
（2）理解实数大小关系的基本事实，会用代数方法比较“式的大小”.
（3）运用实数大小与实数运算的关系，体会数学公理化思想，体会实数大小关系的基本事实在比较“式的大小”以及证明不等式中的作用.
教学重点与难点
教学重点：能用不等式或不等式组表示各种不等关系,会用代数方法比较两个实数的大小.
教学难点：理解实数大小关系的基本事实.
教学过程设计
（一）创设情境、引入课题
在现实世界和日常生活中大量存在着相等关系和不等关系，反映到数量关系上就是相等和不相等.课堂伊始，教师创设“称重试验”和“看图说话”两个情境.
称重试验：步骤一、物理天平的左侧托盘放置可乐，另一侧右侧托盘放置砝码，保持平衡.教师：“同学们可能觉得很好奇，为什么在我们的数学课上出现了大家熟悉的仪器——物理天平呢?你能说说它的作用并描述天平现在的状态吗?”步骤二、在左侧托盘上增加两颗糖果，右侧不变.步骤三、请同学们猜想如果将糖果放入可乐内，会发生什么样的变化？随后教师打开可乐并放入糖果.请同学们观察在试验的前后，物体的质量发生了怎样的变化呢?
看图说话：在现实世界和日常生活中，类似于上述试验的相等关系和不等关系还有很多.有些是显而易见的，例如大小、高矮、胖瘦、快慢...（课件中展示对比图片由学生描述其特点）
问题１：常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？
师生活动：学生独立思考、回答，教师引导学生用严格的数学符号语言表述.
【设计意图】通过“曼妥思与可乐产生反应”的试验展开对相等关系与不等关系的研究讨论,并用夸张趣味的对比图突出生活中常见的不等关系,激发学生兴趣从而认识到不等关系是客观存在、应用广泛的数量关系.问题1让学生结合自己的经验体会不等关系的客观实在性,在交流过程中体验学习不等关系的重要性;通过自然语言与符号语言的转化,着眼于学生的最近发展区，回顾数学中对不等关系的式的表示,引出课题.
（二）操作归纳，探寻新知
1.不等关系及其表示
问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某路段限速40km/h；
(2)某品牌的酸奶质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；
(3)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
归纳：用不等式表示实际问题中的不等关系的方法.
师生活动：教师引导学生领悟从实际问题中抽象出不等关系及其表示的方法.学生表述，并在回答小题的过程中，总结经验方法.最终归纳出用不等式表示实际问题中的不等关系的方法.
【设计意图】在日常生活、数学情境中,发现不等关系，经历从实际问题中抽象出不等式、不等式组,进一步理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值,培养学生数学抽象和数学建糢的核心素养.
问题3：某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元?你能用不等式表示并解决下列问题吗？
追问1: 若将不等号改为等号，如何求解？
追问2: 如何解不等式呢？
师生活动：由学生独立思考后，作出回答．教师补充并指出在上述问题中的易错点和难点.
【设计意图】在归纳出方法的基础上,再以实际问题作为背景，抽象出一元二次不等式.通过追问启发学生类比解方程的主要依据,寻找解不等式的主要依据——不等式的性质，为下一课时学习作铺垫.
2.实数大小的比较
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质,如:不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变等.那么，这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题，要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
设问1： 在初中如何比较-1和-2这两数的大小？
设问2： -1和-2两数的大小能否借助数学工具直观的表示?（借助数轴）
设问3： 如何比较数和-1的大小？
设问4： 如何比较数和数的大小？
师生活动：学生思考后回答，回顾初中阶段利用数轴上的几何规则比较两个实数大小.引导学生转借图形中的关系把实数大小的比较转化为它们的差与0的大小关系,自然地得出两个实数大小关系的基本事实.
【设计意图】在初中,学生学过实数的大小关系是由这两个实数在数轴上对应点的位置关系确定的.通过设问引导学生转借图形中的关系把实数大小的比较转化为它们的差与0的大小关系,自然地得出两个实数大小关系的基本事实.从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中,把几何规则与代数方法结合起来,为不等式的论证提供了基本方法,也为研究不等式的常用性质奠定了基础.
（三）例题解析，巩固新知
例1.比较
的大小关系.
【想一想】这里能用数轴说明两式的大小关系吗？
师生活动：先让学生独立思考，分析出若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系.
【设计意图】让学生感受基本事实在比较两个复杂实数大小关系问题中的便性,体会到从几何规则转化为代数运算的必要性.
变式训练 比较
的大小关系.
师生活动：请学生分析求解，独立作答.将自己的解答过程上传至课堂平台,并进行互评，再由一至两名同学解说过程.教师引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向.
思考：通过本例及变式训练的解答，你能总结代数法判断实数大小关系的步骤吗？
【设计意图】两个式子的差可能是数，也有可能是式.引导学生通过适当的代数变形，判定符号后，再下结论，继续培养学生数学抽象和数学运算的核心素养.
（四）拾阶而上，合作探究
探究 右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？
师生活动：学生以小组为单位，结合本节课所学知识自主探究，合作完成.由学生代表阐述说明小组学习成果,全班交流点评完善.
【设计意图】图形语言与数学符号语言都可以表达相等或不等关系,相辅相成.探究过程中所蕴含的数形结合思想,是高中数学重要的思想方法,有助培养学生直观想象的数学核心素养.而要想证明探究得到的一类常用不等式——重要不等式,则需要运用关于两个实数大小关系的基本事实.通过完整的探究过程，经历“现实背景-不等关系与不等式-关于两个实数大小关系的基本事实-不等式性质-不等式的解法、证明-应用”，让学生将本课内容进行整合，学会类比迁移用以解决同类问题.过程中,教师通过对学生进行及时的形成性评价,培养学生数学表达的严谨性.
（五）总结反馈，内化经验
回顾本节内容，我们是如何认识不等关系的呢？
师生活动：学生在智慧课堂上发表观点，由学生代表总结，教师补充.
【设计意图】引导学生总结回顾本节课的学习过程,在概括中明确所学知识，体会类比思想、数形结合思想、转化与化归思想等，加深对本节内容的理解.促使学生自主掌握知识的内在规律,内化经验方法,学会学习,实现教学目标.
（六）目标检测设计
环节一：学生PK答题，检测是否完成学习目标.
环节二：布置作业.
(必做题)1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系:
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度
从地面算起不能超过
;
(2)
与
的和是非负实数；
(3)在一个面积小于
的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长
大于宽
的4倍.
2.比较
的大小.
(选做题)
拓展：试用本课所学证明已知的不等式性质,并思考类比于等式的性质,不等式还有哪些性质呢?
【设计意图】学生是学习和发展的主体，设计有梯度的作业能使不同的学生获得不同的发展.拓展问题的设置是对本节内容的延伸拓展，让学习不止于课堂，为后续内容进行铺垫.
（七）板书设计
2.1等式性质与不等式性质
一、不等关系及其表示
实数大小关系的基本事实
(几何规则与代数方法) |
多媒体投影区域 |
例题板演 |
（八）教学反思
等式与不等式有很多共同之处，也存在着差异.在初中，学生对于等式有了比较深入的认识：通过建立方程(组)表示相等关系、为了解方程而研究了等式的一些基本性质、研究了两种具体的方程(一元一次方程和一元二次方程)的解法和应用.概括起来就是“现实背景—相等关系与等式—等式性质—方程及其解法—应用”.基于学生已有的学习经验和认知结构,本单元类比初中对等式研究的内容和方法对不等式展开研究,即研究不等式的性质—两类具体的不等式(基本不等式和一元二次不等式)的解法和应用.在构建不等式的结构体系时采用了类似的顺序:现实背景-不等关系与不等式-关于两个实数大小关系的基本事实-不等式性质-不等式的解法、证明-应用.教学中要注重内容的启发性、关联性和有序性,力求渗透研究一个数学对象的基本路径,让学生充分经历研究过程,重视不等式的证明和实际应用.本节课是相等关系与不等关系的起始课，在学习本章内容之前，可以先让学生在回顾和总结初中等式学习过程的基础上，提出研究不等式的研究路径.不等式性质的探究是以实数大小关系的基本事实为依据,以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提,以类比等式的基本性质为方法展开的,对学生的逻辑推理能力和数学思想都着更高的要求.作差法是最基本、最重要的不等式证明方法，教学时既要控制难度，也要注重引导学生如何对代数式进行正确的恒等变形.
在完成本节课学习后，期望学生可以解决下列问题：1.举出一些蕴含不等关系的实际例子，并用不等式描述.2.你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗？强调类比等式中蕴含的思想方法探究不等式,这样学生以数学思想方法引领思维活动,能够在后续的学习中发现并探究出不等式的基本性质. 抓住关键点,让学生充分经历研究过程，发展“四基”、提高“四能”；在自主探究合作交流的学习中，体会类比思想、数形结合思想、转化与化归思想，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模等核心素养.
第二课时
课时教学内容
本课时主要内容:等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的一些常用性质.
课时教学目标
（1）梳理等式的基本性质，将它们分为“相等关系自身的特性”和“相等关系对于运算的不变性”两类，体会等式的基本性质中蕴含的数学思想方法.
（2）在等式的基本性质蕴含的数学思想方法的引导下，类比等式的基本性质，探究不等式的基本性质，体会等式的基本性质与不等式的基本性质的共性与差异.利用不等式的基本性质研究不等式的一些常用性质.
教学重点与难点
教学重点：梳理等式基本性质中蕴含的思想方法；探究不等式的基本性质.
教学难点：梳理等式基本性质中蕴含的思想方法；探究不等式的基本性质；发现不等式的一些常用性质.
教学过程设计
（一）梳理旧知、提炼思想
导入语：通过前面的学习我们知道现实世界和日常生活中存在着大量的相等关系和不等关系，数学中用“等式”和“不等式”来表示这两种关系．上节课我们提到，与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.不等式到底都有哪些性质呢？今天我们来一起研究不等式的性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，因此我们先来复习等式的性质，并尝试梳理它们蕴含的思想方法，从中获得启示，来研究不等式的性质.
【设计意图】以单元教学理念为指导，着眼于学生的最近发展区，唤醒学生对所研究内容相关的认知，开门见山，直接引人课题，使学生明确研究内容以及研究方法.
问题1：等式有哪些基本性质？
师生活动：学生独立思考、回答，并相互补充，说出教材中等式的性质３—性质５，教师引导学生用严格的数学符号语言表达这些性质，并按学生所说的顺序板书等式的基本性质.
追问１：这些性质有什么共性？它们能否看作是运用了相同的方法或从相同的角度得到的？
【设计意图】让学生自己去回忆等式的基本性质，请学生回答，教师板书．按照学生已有认知，学生很有可能先说出的是“在等式两边同时加上、减去、乘以或除以（不为零）同一实数，等式不变”，这里教师可以引导学生把加法和减法统一为“加法”，把乘法和除法统一为“乘法”，从而得到等式的基本性质3和基本性质4，这也体现了高中数学对运算的认识更趋于一般性．接着继续提出问题：这些基本性质有什么共性？引导学生得出“相等关系在运算中的不变性”．再引导启发学生得出等式的基本性质1和2，即所谓的“对称性”和“传递性”，它们反映了相等关系自身的特性．最后总结“式的大小关系”的本质属性就集中反映在“自身的特征”和“对于运算的不变性”这两个方面，不等式也不例外．启发学生在“式的大小关系”的本质属性的指引下探究不等式的基本性质．
（二）类比推理，探究新知
问题2：刚才，我们回顾了等式的基本性质并且梳理了等式基本性质中蕴含的思想方法，现在我们来研究不等式的基本性质，你打算如何研究呢？即从什么角度来研究不等式的性质？
师生活动：教师引导学生领悟研究不等式的性质可类比研究等式性质的方法进行.学生表述，类比等式的性质，可以从不等式的自身特性和运算的不变性两个角度研究不等式的基本性质.
【设计意图】加强学法的引导，让学生自主发现研究问题的方法，一方面，提髙学生对等式性质中蕴含的思想方法的理解，另一方面，让学生体会类比是研究数学问题的一种重要逻辑思维方法，认识到类比不仅是形式上的类比，更是研究问题思路和方法的类比.
问题3：类比等式基本性质中自身的特性，你能猜想并证明不等式有哪些自身特性决定的基本性质吗？
性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＞a，那么a＞b． 即 a＞bó b＜a ．
师生活动：由学生独立思考后，表达猜想及证明方法.学生猜想不等式自身特性有如果
a＞
b，那么
b＜
a；如果
b＞
a，那么
a＞
b．
追问1：你能证明性质“如果
a＞
b，那么
b＜
a”吗？
师生活动：学生先尝试证明.因为初中没有多少代数证明的经验，学生对用实数大小关系的基本事实进行证明会有困难，教师可以从学生中找出典型问题进行分析，并给出证明的示范.
【设计意图】不等式性质１的证明是学生在本节课中的难点之一，该证明也对其他性质的证明起到启示性的作用.教学中，教师通过强调实数大小关系基本事实在证明不等式中的作用，引导学生利用实数的一些基本事实在已知与所求之间搭建“桥梁”，既能使学生感受到数学问题的证明要有章可循，要有理有据，体会实数大小关系的基本事实的重要作用，又使学生学会用分析法证明不等式的思路，为后续证明其他不等式的性质做好铺垫.
追问2：除了不等式的基本性质１，你还得到了什么结论？能否从性质１的证明中获得启示，给出相应的证明？
性质2 如果a＞b，b＞c，那么a＞c ．即 a＞b，b＞cð a＞c ．
师生活动：学生猜想不等式自身特性2，如果
a＞
b，
b＞
c，那么
a＞
c ．并尝试证明.
【设计意图】此性质的探究过程，一方面，使学生经历类比的探究过程，另一方面，使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想的结论要证明，证明要有依据”.通过该性质的证明过程，深化学生对证明不等关系中推理方法及依据的理解，深人体会分析法的证明思路在证明中的作用.
问题4：类比等式性质中反映运算中的不变性的性质，你能猜想并证明不等式有哪些运算中的不变性决定的基本性质吗？
师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导.
性质3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．
追问1：用自然语言表达性质，有助于加深对性质的理解.你能用文字语言表述性质３吗？
自然语言：不等式两边都加上同一实数，所得不等式与原不等式同向．
追问2：从几何角度直观解释性质，有助于我们数形结合地理解性质的本质.你能利用数轴来解释性质３吗？
图形语言
由性质3可得：
a＋b＞c ð a＋b＋(－b) ＞ c＋(－b)
ða＞c－b．
自然语言：不等式中任何一项可以改变符号后移动到不等号的另一边．
【设计意图】用符号语言、文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，即通过多元联系表示性质，可帮助学生理解和掌握不等式性质的本质.
追问3：除了不等式的基本性质３，你还得到了什么结论？怎么证明？
性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
师生活动：学生尝试得出猜想，其中可能出现不对不等式两边所乘的数进行分类的情况，教师可以让学生讨论猜想的正确性，在讨论的基础上明确猜想为：性质4 如果
a＞
b，
c＞0，那么
ac＞
bc； 如果
a＞
b，
c＜0，那么
ac＜
bc．用自然语言表达为：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.
对猜想的证明仍然先让学生分析证明思路，通过师生讨论、总结，最后给出规范证明.
问题5：加法、乘法是数学的基本运算，因此上述四条性质是不等式的基本性质.不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？
师生活动：学生总结出两者都具有“自身特性”和“运算中的不变性、规律性”，由于不等号具有方向性，性质１交换两个实数顺序，性质４中不等式两边同乘同一个负数时，不等号要改变方向.
【设计意图】这里以问题的形式让同学们对等式性质和不等式性质进行一个简单的梳理和小结，为接下来进一步研究不等式的其它常用性质作铺垫.
（三）拾阶而上，探究推广
以上性质1和性质2反应的是不等式自身的特性，性质3和性质4反应的是不等式对于运算的不变性，它们是不等式的基本性质，一起反应了“式的大小关系”的本质属性.其实，在今后不等式的应用中还用一些常用性质.
问题6：在解方程组是我们经常采用两式相加的方法来实现消元的目的，也就是说两个等式两边分别相加，等式仍然能成立，类比它你能给出不等式类似的性质吗？
性质5 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
追问1：你能用自然语言表述它吗？（大数加大数大于小数加小数）
追问2：你能利用刚刚总结的不等式的基本性质给予证明吗？
师生活动：学生独立思考并证明，教师投屏学生的证明过程，师生共同评价、完善.教师鼓励学生给出不同的证明方法.
问题7：大数加大数大于小数加小数，我们自然要思考大数乘以大数是不是大于小数乘以小数呢？即：性质6 如果
a＞
b，
c＞
d，那么
ac＞
bd．你能证明它吗？
师生活动：这里先不给出完整的结论，让学生在思考和证明的过程中自己发现并完善.
性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd
特别的，如果把条件
c＞
d＞0改为
a＞
b＞0
,那么容易得到
.进一步，重复这个过程n次，可以得到：
性质7 如果a＞b＞0，那么
．
【设计意图】除用类比的方法外，还可以通过一般化和特殊化的方法得出新的结论，由此可使学生进一步体会数学研究方法.
通过不同证明方法的探究，一方面强调“实数大小关系的基本事实”是证明不等式问题的根本方法，另一方面引导学生挖掘条件和结论间的联系，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”证明较复杂命题的一般思路，体会不等式基本性质的应用.
（四）例题解析，巩固新知
证明：
,
,
【设计意图】例题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路．因为已知条件与结论之间的联系不够明显，证明中需要对已知不等式做什么变形不太明确．因此教师要引导学生去思考，学会去分析，让学生去说思路，师生合作完成．证明完例题提问学生本题给我们什么启示？启发学生去思考证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”证明命题的思路．
（五）归纳小结
通过本节课的学习，你收获了什么？我们是怎样研究不等式的性质的？
【设计意图】引导学生回顾总结本节课所学知识，注意引导学生体会数学类比推理的思想，体会不等式性质的本质属性，加深对本节课知识的理解．
（六）布置作业
教科书42页习题2．1第6,8,9,10题
（七）板书设计
（八）教学反思
本节课是相等关系与不等关系的内容,它属于代数范畴,所体现数学思想方法的核心是运算中的性质. 通过研读教材,体会到相等关系与不等关系在运算中的不变性和规律性是本节课要渗透的思想方法. 教学中要给学生运用和体会数学思想方法解决问题的机会. 教学中通过创设问题情境,使学生尝试运用数学思想方法解决问题,体会数学思想方法在问题解决中的作用,帮助学生养成从思想方法的角度分析解决问题的习惯.
本节课在梳理了等式性质及其所蕴含的思想方法后,强调类比等式中蕴含的思想方法探究不等式的性质,这样学生以数学思想方法引领思维活动,发现并探究出不等式的基本性质. 由不等式的基本性质探究一些常用性质的教学,我们仍然以一般化与特殊化的数学思想作为探究方法,组织学生将基本性质中“不等式两边加(乘)同一个数”进行一般化,即“不等式两边加(乘)不同的数”,再将“两个不同的不等式相乘”进行特殊化,即“两个相同的不等式相乘”,从而得出一些常用性质. 这样,学生体会一般化与特殊化思想作用、表现形式以及两者的关系,学会运用数学思想方法探究问题.
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