部编新教材人教版数学必修第二册第九章统计9.2 用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计

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视频课题：部编新教材人教版数学必修第二册第九章统计9.2 用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计

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部编新教材人教版数学必修第二册第九章统计9.2 用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计教学设计

总体集中趋势的估计教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容
平均数、中位数和众数的概念和统计含义，总体平均数、中位数和众数的估计。
（二）内容解析
总体集中趋势的估计是高中数学人教A版必修第二册第九章第二节第三课时的内容。本单元内容的安排以数据处理的基本过程为线索，教学中选取一些典型案例，让学生在具体实例中经历数据处理的全过程。本节内容是在具体案例中，对已获取数据进行分析，理解计算样本集中趋势参数的必要性与合理性，再利用有关参数对总体进行估计，具有承上启下的作用。
根据以上分析，确定本节课的学习重点为：会求样本数据的众数、中位数、平均数，并对总体进行估计。
二、目标和目标解析
（一）目标
1、结合实例，学会用样本估计总体的众数、中位数、平均数，培养数学建模素养。
2、根据已知条件，会求样本数据的众数、中位数、平均数，培养学生的数学运算素养。
3、能够运用众数、中位数、平均数进行判断，培养学生的逻辑推理素养。
4、通过分析频率分布直方图中的众数、中位数、平均数，培养学生的数据分析素养。
（二）目标解析
达成上述目标的标志是：会求样本数据的众数、中位数、平均数，并对总体的集中趋势进行估计。
三、数学问题诊断分析
学生在初中已经学过一组简单数据的众数，平均数中位数积累了一定的计算分析，统计问题的能力。本节需要在大量实例中抽象出数学模型计算样本集中趋势的参数，再利用相关参数解决实际问题，学生可能会分不清该到底哪个或哪些参数对总体进行估计更为合适。
本节课的教学难点是：利用相关参数对总体进行估计。
四、教学支持条件分析
本节课需要运用多媒体播放软件。
五、教学过程
（一）谈话导入
同学们好，为了了解总体的情况，前面我们学习了用样本的分布规律，估计总体的分布规律。但是有时候我们并不关心总体的分布，而关心总体在某方面的特征，比如说要估计今年我县水稻的产量，我们更关心今年水稻的总产量或每公顷水稻的产量，并不关心水稻的分布情况。为此我们在初中学习了众数，中位数，平均数这些反应总体集中趋势的量。本节课我们将进一步了解它们之间的区别和联系，并用它们对总体进行估计。
（二）回顾概念，引入新课
指名学生回答概念。
众数：一组数据中重复出现次数最多的数。
中位数：把一组数据从小到大或从大到小的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数。
平均数：如果有n个数，，那么叫做这个数的平均数。
（三）结合实例，分析探索
   在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势。
下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势。
例1.   利用下表中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。
9.0     13.6   14.9    5.9     4.0     7.1     6.4     5.4    19.4    2.0
2.2     8.6     13.8    5.4     10.2   4.9     6.8    14.0    2.0   10.5
2.1     5.7     5.1    16.8   6.0    11.1   1.3     11.2   7.7    4.9
2.3     10.0    16.7   12.0    12.4    7.8     5.2    13.6   2.4    22.4
3.6     7.1      8.8    25.6    3.2     18.3   5.1    2.0     3.0    12.0
22.2   10.8    5.5     2.0     24.3    9.9     3.6    5.6    4.4     7.9
5.1    24.5     6.4     7.5     4.7     20.5   5.5   15.7   2.6     5.7
5.5    6.0     16.0    2.4      9.5     3.7     17.0 3.8     4.1     2.3
5.3    7.8     8.1      4.3     13.3   6.8     1.3    7.0     4.9     1.8
7.1    28.0    10.2    13.8     17.9   10.1   5.5    4.6     3.2     21.6
该市某个小区有200户，你能估计该小区的月用水量吗？
1、教师用Excel软件演示计算过程，并展示结果。
2、教师错将7.7录成了77和2.0录成了200后，并用Excel分别计算出数据的平均数和中位数。
追问1:并与真实的样本平均数和中位数作比较。哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？
平均数由原来的8.79t变为9.483t,中位数没有变化.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值, 并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变,因此,与中位数较,平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本中的极端值更加敏感。
中位数和平均数的大小与数据分布形态的关系

平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？
（1）单峰，直方图图形对称：平均数≈中位数
（2）右边“拖尾”：平均数>中位数
（3）左边“拖尾”：平均数<中位数
结论：和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边。
追问2. 你能说一说生活当中有哪些减少极端值对平均数的影响的事例吗？
（评委打分，去掉一个最高分和一个最低分，取剩下得分的平均分）
过渡: 我们既然计算了平均数，为什么还要计算中位数、众数呢？下面我们来看一看例二。
例2.某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格，据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示，

校服规格	155	160	165	170	175	合计
频数	39	64	167	90	26	386

如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和数中，哪个量比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性。
解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据（下图)可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适。
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理。

众数、中位数和平均数的比较

名称	优点	缺点
平均数	与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感	任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数	不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响	对极端值不敏感
众数	体现了样本数据的最大集中点	众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感

巩固：列举一些具体事例，让学生选择利用众数中位数平均数进行估计。
用水量校服规格性别产量质量等级收入
小结：
分类型数据，用众数估计更合理。
数值型数据用中位数平均数估计更合理。
探究:样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图，这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？
例3：

你能以下图居民用水的频率分布直方图提供的信息，估计出样本的平均数、中位数和众数吗?
分析：
1.给足学生讨论时间。
2. 经过师生讨论得出:在频率分布直方图中丢失了原始数据，所以我们默认数据在频率分布直方图的小矩形中是均匀分布的因此我们用每个小矩形中点的横坐标代表小矩形中的数字。
3.学生思考讨论计算众数、中位数、平均数的计算方法。
众数：在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值，如图所示，众数常用在描述分类型数据中，在这个实际问题中，众数“5.7”让我们知道月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多，这个信息具有实际意义。
中位数：根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。
这个结果与根据原始数据求得的中位数6.6相差不大。
中位数即第50百分位数。
由于0.077×3=0.231,(0.077+0.107)×3=0.552.
因此中位数落在区间[4.2,7.2)内.
设中位数为x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得到x≈6.71.
因此，中位数约为6.71,如图所示.

平均数：因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。

这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大。
小结：
平均数：频率分布直方图中每个小矩形面积乘以各个小矩形底边中点的横坐标的和。
中位数：把频率分布直方图分成面积相等的左右两部分。
众数：最高矩形的底边中点的横坐标。
过渡：刚才我们估计的是在分为九组的频率分布直方图下，100户居民用水量大众数、中位数、平均数，下面我们来估计一下将100户居民用水量分为三组时的频率分布直方图中的众数、中位数、平均数。
跟踪练习：

	原始数据	9 组	3 组
众数	2.0	5.7	5.7
中位数	6.8	6.7	7.8
平均数	8.79	8.96	9.39

在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设它们在组内均匀分布，这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.
频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关，有随机性。
跟踪训练：计算不同分组下频率分布直方图中的众数、中位数、平均数，再将数值进行对比，了解计算数值的随机性，明白统计方法没有好坏之分，只有合适与不合适之分。
（四）拓展延伸，学以致用
某工厂人员及月工资构成如表：

人员	老板	管理人员	高级技工	工人	合计
月工资/元	220000	20000	10000	8000	550000
人数	1	6	5	20	32

该厂职工年平均收入能达到20万吗？我能建议表弟去该厂入职吗？
（五）总结
通过本节课的学习，你有什么收获。
众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。
（六）布置作业
1、课本208页练习1、2、3。
2、

人员	老板	管理人员	高级技工	工人	合计
月工资/元	220000	20000	10000	8000	550000
人数	1	6	5	20	32

请改动表中的数据，在工厂平均工资为20万的前提下，能让表弟入职。
（七）板书设计：
总体集中趋势的估计

1、众数中位数平均数
2、在频率分步直方图中求众数、中位数、平均数。

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