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视频标签：正方形的判定
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视频课题：北师大版初中数学九年级上册《3.2正方形的判定》福建省 - 厦门
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《3.2 正方形》教学设计
一、教材分析
《正方形的判定》是北师大版数学教材九年级（上册）第一章的第三节内容。本节课是在学习了平行四边形、菱形和矩形知识的基础上，对正方形判定方法的探索，是所学特殊四边形知识的综合运用。教材通过“将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？”的剪纸实验为引入引导学生探索正方形的判定方法；通过例题，结合正方形的判定和矩形的性质进行正方形的证明；最后探索正方形的中点四边形，是正方形的判定的再应用。这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形的判定进行综合的不可缺少的重要环节。
二、学情分析
在之前的学习中，学生已经借助折纸、画图、测量、猜想、证明等活动探索学习了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，在本节第一课时学习了正方形的定义和性质。特别地，在《菱形的判定》一课中已经做过剪纸实验：“对折两次，任意剪一个角”得菱形。在相关知识的学习中，学生经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，初步体会了提出猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与演绎推理之间相互依赖和相互补充的辩证关系，因此学生已经具有一定的推理证明的能力。八年级时学生还学习了三角形中位线定理，为本节课探究正方形的中点四边形作了铺垫。因此学生已经具备知识基础和实验操作经验。
值得注意的是，结合小学阶段的学习，学生对正方形的认识主要在特征性质：四边相等，四个角相等，但是对正方形的判定相对陌生。因此，本节课的教学设计将重点放在正方形判定的探索上，设计教学引入环节：先以学生熟悉的剪菱形的方法作为引入，在菱形的基础上剪矩形，偶然发现正方形，自然得出正方形的判定方法——既是菱形又是矩形的四边形是正方形。通过对生活中常用的正方形的折法分析，利用学习的新知解释了生活中常见的问题，使学生体会到学习数学的作用和意义。通过学生自主探究、在旧知的基础上发现新结论的过程，有效突
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破了本节重难点，提升了学生的成就感与学好数学的信心。
三、教学目标
本课时教学目标源于课标，略高于课标要求。 1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形；
2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法； 3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识。
四、教学重难点
重点：探索正方形的判定方法；
难点：能运用正方形的判定方法解决有关问题。
五、教学准备
多媒体、实物投影仪、学生导学案、网页动画演示。
六、教学方法和手段
基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用实物、多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。
七、教学过程
一、创设情境，导入新课
复习：我们学习过哪些特殊的四边形？
问题1：如图1，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，打开后观察，你得到了一个什么图形？
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（学生动手实验，发现剪出来的四边形是菱形。） 师：你的依据是什么？
生：四条边相等的四边形是菱形。
（设计意图：1.以学生熟悉的剪纸为引入，易使学生产生亲切感，容易较快进入学习角色； 2.通过已经学习的菱形的判定等相关知识解决问题，让学生在具体的操作中体会已学数学知识的实际应用，获得成就感，增强学习数学的信心； 3.为下一步在菱形的基础上得到正方形作铺垫。）
二、实验操作，探究新知
问题2：怎么在这个获得菱形的任意直角三角形的基础上，剪一刀而得到的展开图是矩形？并说说你的依据。
（学生思考，将图形折回初始的三角形，进行修正。）
生1：我发现了这个直角三角形的两条直角边是展开图对角线的一半，所以我使剪下的三角形的两直角边相等，从而对角线相等，所以在平行四边形的前提下，它是一个矩形。
生2：使剪下的三角形的一个底角为45 ，从而有一个角为90 ，所以它是一个矩形。
师：现在观察你们剪好的图形，它既是菱形、又是矩形，这个图形你熟悉吗？ 生：它是一个正方形！
师：好。正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角。回顾刚才剪纸的过程，我们如何得到正方形的？
生：使这个四边形既是菱形，又是矩形。 归纳：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
（设计意图：学生在菱形的基础上剪矩形的过程中“偶然”发现了正方形，得出既是菱形又是矩形的四边形是正方形的判定。通过设置数学剪纸实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，印象深刻，突出了教学重点。同时也培养了学生动手实践能力，以及观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力。）
问题3：除了刚才的方法外，怎样将一张矩形纸通过适当折叠后，一刀剪出
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正方形？
生：对折使得两边重合，截掉其余部分，得到正方形。
师：结合刚才的学习，你现在能否解释为什么得到的是正方形？ 学生分小组讨论。
生总结：对折后，有三个角是直角，因此它是矩形。边重合，说明平行四边形邻边相等，因此它是菱形。这个四边形既是矩形又是菱形，所以它是正方形。
教师结合集合关系图再次总结正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系。 归纳：证明一个四边形是正方形时，可以先判定这个四边形是菱形、再判断它是矩形；也可以先判定这个四边形是矩形，再判定它是菱形。
（设计意图：学生熟悉如何折出一个正方形，所以回答问题3的作法并不困难。通过对生活中常见问题的数学解释，使学生深刻体会到数学来源于生活，又服务于生活，再一次直观感受到判定正方形的依据——矩形且菱形，进一步体会推理的过程，感受数学的生动和严谨。）
问题4：如果现在让你判定正方形，你想怎么判定？ 教师设置填空帮助学生归类： 1. ___________的菱形是正方形； 2. ___________的矩形是正方形； 3. ___________的平行四边形是正方形； 4. ___________的四边形是正方形；……
生1：有一个角是直角（或对角线相等）的菱形是正方形； 生2：有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形是正方形； 生3：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 生4：既是矩形又是菱形的四边形是正方形； 生5：有三个角是直角且四边相等的四边形 ……
归纳：判定一个四边形是正方形的方法较多，但本质上都能总结为既能判定一个四边形是矩形，又能判定这个四边形是菱形，这也是今后我们判定正方形的方法。
（设计意图：书本没有完全列举正方形的判定方法，基于此，这里让学生自
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主思考，针对正方形的判定要素进行总结，培养学生的严谨思维和创新能力。）
三、例题讲解，新知应用
例题1. 如图2，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证:四边形CFDE是正方形.
学生独立思考、分析、解答问题。
教师应重点关注：1. 判定的顺序，先证明矩形再证明菱形更为简便；2. 应用角平分线的性质得出邻边相等。
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC
∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∴∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四边形CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 又∵ DE=DF（已证）
∴四边形CFDE是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） ∴四边形CFDE是正方形.（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）
（设计意图：此例题是正方形判定的应用，结合条件选择最优证法。将新知识内化入学生已有的认知结构，突破了本节的难点。） 练习：如图3，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCE，BF // CE，CF // BE. 求证：四边形BECF是正方形.
生独立完成，一人上台板书。教师进行指导完善。 （设计意图：进一步应用和巩固所学知识。）
四、深化思维，拓展延伸
例题2. 已知：如图4，点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中点. 求证：四边形EFGH是正方形.
生思考，进行一题多解，发散思维。
变式：如图5，点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且 AE=BF=CG=DH. 证明四边形EFGH是正方形.
教师运用网页动画变化AE=BF=CG=DH的长度展示动图，使学生发现图形中的不变量：四个全等三角形、正方形EFGH等，
G
F
E
H
B
C
A
D
F
E
D
A
BC
H
GFE
D
C
B
A
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并进行证明。
（设计意图：例题到变式，是特殊到一般的推广。借助几何软件动态演示图形运动的变化，发现其中不变的性质，具有生动性和直观性。使学生经历观察-实验-猜想-证明的数学探究的过程，符合学生的认知规律，进一步提高认知水平。）
五、归纳小结，内化知识
1.通过本节课的学习，你学习了哪些知识？ 2.对于判定一个四边形是正方形，你还有哪些疑问？
六、课后作业，颗粒归仓 1、课本P24. 练习；P26. 2、5；
2、选做题：如图6，正方形ABCD和正方形CEFG，延
长CD到H，且DH=CE=BK. 求证：四边形AKFH是一个正方
形.
（设计意图：作业分层。）
八、设计说明
本节以三个折纸活动为主线，以正方形与特殊四边形的关系为核心，通过几何直观的方式串联各种正方形的识别方法。设计思路的过程如下：
第一个实验是一刀剪出菱形，这是已学内容，为下个实验做好铺垫。 第二个实验由北师大课本的实验引入得到启示：实际上这个过程就是控制展开图既是菱形又是矩形。于是教师分散难点，将实验过程分成了两步：先剪菱形，后剪矩形，学生展开后“意外”发现得到了一个新的特殊图形：正方形。将原题中已知图形改为未知图形，学生在操作的过程中自主发现并总结得到正方形的方法，真正成为了学习的主人，提高了学习数学的兴趣。
第三个实验由人教版课后的剪正方形纸片的练习得到启示：这个生活中常见的操作同样也体现了既是矩形又是菱形的四边形是正方形。由于学生对生活中的折纸只停留在感性的认识，所以这里设计问题：为什么得到的是正方形？利用学习的数学知识解释了实验操作的合理性，是对正方形判定的二次推理和应用，体
KH
G
F
E
DC
B
A
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现了数学来源于生活又应用于生活，提升学生数学学习的成就感和应用数学的意识。
学生通过数学折纸活动进行实验探索，亲身体验得到正方形的操作过程，进而总结正方形的判定方法。在这个过程中，教师只是为学生提供“做中学”、“想中学”、“动中学”空间的引导者，学生作为学习的主体在自主操作和探究中体验到发现与收获，既加深了学生对正方形判定的认识，又培养了学生的直观想象、数学抽象的能力，有效突破了本节课的重难点。这一节课将数学实验与数学理论有效结合，相辅相成，体现了数学的严谨思维和灵巧生动。
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